2.4.2抛物线的几何性质(二)一、基础过关1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且|P1F|，|P2F|，|P3F|成等差数列，则有()A．x1＋x2＝x3B．y1＋y2＝y3C．x1＋x3＝2x2D．y1＋y3＝2y23．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为()A.pB.pC.pD.p4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－25．抛物线x2＝ay(a≠0)的焦点坐标为__________．6．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．二、能力提升7．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是()A.－1B.－1C．2D.－18．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是()A．|AB|>|CD|B．|AB|＝|CD|C．|AB|<|CD|D．|AB|≠|CD|9．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．12．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．(1)直线l的斜率为，求证：FA·FB＝0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由．三、探究与拓展13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)＋＝；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．答案1．B2．C3．B4．A5.6.7．D8．A10．解如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p，x1＋x2＝p.当x1＝x2时，|AB|＝2p
0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝·＝＝＝.(2)根据抛物线定义知|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，∴＋＝＋＝＋＝＝＝＝.(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则|CC1|＝·(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
