2.4.2抛物线的几何性质(二)一、基础过关1.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-22.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且|P1F|,|P2F|,|P3F|成等差数列,则有()A.x1+x2=x3B.y1+y2=y3C.x1+x3=2x2D.y1+y3=2y23.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为()A.pB.pC.pD.p4.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2=2y-1B.x2=2y-C.x2=y-D.x2=2y-25.抛物线x2=ay(a≠0)的焦点坐标为__________.6.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.二、能力提升7.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是()A.-1B.-1C.2D.-18.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD,其所在直线的倾斜角分别为与,则|AB|与|CD|的大小关系是()A.|AB|>|CD|B.|AB|=|CD|C.|AB|<|CD|D.|AB|≠|CD|9.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=________.10.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点,且|AB|=p,求AB所在的直线方程.11.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求OA·OB的值;(2)如果OA·OB=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交点为Q,过Q点的直线l交抛物线于A、B两点.(1)直线l的斜率为,求证:FA·FB=0;(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB,探究kFB与kFA之间的关系并说明理由.三、探究与拓展13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则称AB为抛物线的焦点弦.求证:(1)y1y2=-p2;x1x2=;(2)+=;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.答案1.B2.C3.B4.A5.6.7.D8.A10.解如图所示,抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,A(x1,y1),B(x2,y2),设A、B到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义知,|AF|=dA=x1+,|BF|=dB=x2+,于是|AB|=x1+x2+p=p,x1+x2=p.当x1=x2时,|AB|=2p
0)的焦点F,准线方程:x=-.设直线AB的方程为x=ky+,把它代入y2=2px,化简,得y2-2pky-p2=0.∴y1y2=-p2,∴x1x2=·===.(2)根据抛物线定义知|FA|=|AA1|=x1+,|FB|=|BB1|=x2+,∴+=+=+====.(3)设AB中点为C(x0,y0),过A、B、C分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,C1.则|CC1|=·(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.