3.4生活中的优化问题举例课时跟踪检测一、选择题1．某箱子的容积与底面边长的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．以上都不正确解析： V(x)＝x2＝30x2－，∴V′(x)＝60x－x2.令V′(x)＝0，得x＝40，当0＜x＜40时，V′(x)＞0；当40＜x＜60时，V′(x)＜0，∴当x＝40时，V(x)取得最大值．故选B.答案：B2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，∴y′＝36x－6x2＝6x(6－x)．令y′＝0，得x＝0(舍去)或x＝6，∴当x＝6时，y最大．故选C.答案：C3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是()A．1秒末B．0秒C．2秒末D．0秒或1秒末解析：由题意知t≥0，且s′＝4t2－4t＝4t(t－1)，令s′＝0，得t＝0或t＝1，故选D.答案：D4．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为()A．4B．8C.D．解析：由题意，得V＝·2x··x·y＝x2(3－x)＝x2－x3,00，当x∈(2,3)时，V′<0，∴x＝2时，Vmax＝，故选C.答案：C5．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D．πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.∴S侧＝2πR·l＝2πrcosθ×2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.∴S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ.令S′侧＝0，得θ＝.∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，且最大值为2πr2.答案：A16．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()A．30千米/时B．25千米/时C．20千米/时D．10千米/时解析：设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，则m＝kv3.把v＝10，m＝25代入上式，得k＝.∴总费用y＝×m＋×400＝20v2＋，则y′＝40v－.令y′＝0，得v＝20. y只有一个极值点，∴v＝20为最小值点．答案：C二、填空题7．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一吨产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x(吨)的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品产量为________．解析：由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立．易知当x＝300时，总利润最大．答案：3008．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．解析：设底面半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh，∴h＝－r.体积V＝πr2h＝πr2＝Sr－πr3，由V′＝S－3πr2＝0，得r＝.答案：9.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍)，x2＝. f(x)只有一个极值点，∴当x＝时，f(x)取最大值.答案：三、解答题10．在某河段新建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，2即n＝－1，∴y＝f(x)＝32n＋(n＋1)(2＋)x＝32＋(2＋)x＝m＋2m－32(0
