2.4.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义有4+p2=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.答案D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.(14,±√24)B.(18,±√24)C.(14,√24)D.(18,√24)解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F(14,0),所以点P的横坐标为18,代入抛物线方程得y=±√24,故点P的坐标为(18,±√24).答案B3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-12解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-p2,且点A(-2,3)在准线上,所以-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=3-0-2-2=-34.答案C4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则1|AF|+1|BF|的值为()A.2B.11C.14D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A、B,所以直线的斜率存在,设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+14,由{x2=y,y=kx+14,可得y2-(k2+12)y+116=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12,因为抛物线的准线方程为y=-14,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+14,|BF|=y2+14,所以1|AF|+1|BF|=1y1+14+1y2+14=y1+y2+12y1y2+14(y1+y2)+116=4,故选D.答案D5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.43B.75C.85D.3解析设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,所以y0=-x02,于是d=|4x0+3y0-8|5=|-3(x0-23)2-203|5,所以dmin=2035=43.答案A6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()2A.14,-1B.14,1C.(1,2)D.(1,-2)解析由题意,根据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(1,0),过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,所以此时点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,即点P的坐标为(1,-2),故选D.答案D7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-28.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-12x.由{y=2x,y2=2px得点A的坐标为(p2,p).3由{y=-12x,y2=2px,得点B的坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以√(p+4p)2+(p2-8p)2=5,解得p=2√1313,故所求抛物线方程为y2=4√1313x.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,m)到焦点F的距离为2.(1)求实数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.解(1)抛物线焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,因为点P(1,m)到焦点F距离为2,所以1+p2=2,解得p=2.(2)抛物线C的焦点坐标为(1,0),当斜率不存在时,可得|AB|=4不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程{y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,所以|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8,解得k2=1,k=±1.所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.能力提升1.已知抛物线x2=16y上的点P到焦点F的距离为8,则△OPF(O为坐标原点)的面积为()A.16B.8C.4D.2解析设点P(x,y),因为点P到焦点F的距离为8,根据抛物线的定义,可得y+p2=8,即y+4=8⇒y=4,代入抛物线的方程,得x2=16×4=64,解得x=±8,即P(±8,4),4所以△OPF的面积为S=12|OP||xP|=12×4×8=16,故选A.答案A2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-2B.-1C.2D.3解析由{y2=8x,y=kx-2,得k2x2-4(k+2)x+4=0,由Δ>0得k>-1,则4(k+2)k2=4,即k=2.答案C3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2√2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|等于()A.1∶2B.1...
