第2讲三角恒等变换与解三角形专题强化训练1．已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C．D．0解析：选D.因为sin＝cos，所以cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，所以tanα＝＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.3．(2019·台州市高考一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acosC，sinC＝，则△ABC的面积为()A.B.C.或D.或解析：选C.因为2b－c＝2acosC，所以由正弦定理可得2sinB－sinC＝2sinAcosC，所以2sin(A＋C)－sinC＝2sinAcosC，所以2cosAsinC＝sinC，所以cosA＝，所以A＝30°，因为sinC＝，所以C＝60°或120°.A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×2×＝，A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c＝()A．2B．2C．4D．3解析：选B.因为＝＝＝1，所以2cosC＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absinC＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝()A．8B．4C．2D．1解析：选C.因为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，所以＝＝＝＝2.6．(2019·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时()1A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1＝，2r2＝，因为∠APB＋∠APC＝180°，所以sin∠APB＝sin∠APC，所以＝，所以λ＝＝.故选D.7．(2019·福州市综合质量检测)已知m＝，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m＝()A.B.C.D.2解析：选D.设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcosB－cosAsinB)，即2cosAsinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝＝2，故选D.8．(2019·咸阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC，b＝6，AB边上的点M满足AM＝2MB，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是()A．36B．37C．38D．39解析：选A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sinC＝1，C＝，所以sinA(1－cosC)＝sinBsinC，即sinA＝sinB，所以A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tanθ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.9．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．解析：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.答案：110．若α∈，cos＝2cos2α，则sin2α＝________．解析：由已知得(cosα＋sinα)＝2(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)，所以cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝，由cosα＋sinα＝0得tanα＝－1，2因为α∈，所以cosα＋sinα＝0不满足条件；由cosα－sinα＝，两边平方得1－sin2α＝，所以sin2α＝.答案：11．(2019·金丽衢十二校联考二模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB＝bcosA，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．解析：△ABC中，acosB＝bcosA，所以sinAcosB＝sinBc...
