第4课时反证法A．基础巩固1．(2017年宁德期中)用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角”时，应假设()A．∠A不是锐角B．∠B不是锐角C．∠C不是锐角D．以上都不对【答案】B【解析】反证法证明先否定结论“∠B一定是锐角”．2．(2017年天门联考)用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被7整除B．a，b不都能被7整除C．a，b至少有一个能被7整除D．a，b至多有一个能被7整除【答案】C【解析】假设“a与b都不能被7整除”不成立，即假设“a，b至少有一个能被7整除”．故选C．3．不等式≤1的充要条件是()A．ab＞0B．ab＜0C．a2＋b2≠0D．ab≠0【答案】D【解析】≤1⇔|a＋b|≤|a|＋|b|，且|a|＋|b|≠0，而|a＋b|≤|a|＋|b|恒成立．所以只需|a|＋|b|≠0，即ab≠0.4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】因为三角形内角的正弦均为正值，故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，所以△A1B1C1为锐角三角形．由于sinA2＝cosA1＝sin，sinB2＝cosB1＝sin，sinC2＝cosC1＝sin，若△A2B2C2是锐角三角形，则A2＋B2＋C2＝＋＋＝，与三角形内角和为π弧度矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨令A2＝，则cosA1＝sinA2＝1，故A1＝0，与△A1B1C1为锐角三角形矛盾；故△A2B2C2是钝角三角形．5．(2017年徐州期末)用反证法证明“a，b∈N*，若ab是偶数，则a，b中至少有一个是偶数”时，应假设____________________．【答案】a，b都不是偶数【解析】“a，b中至少有一个是偶数”的否定是“a，b都不是偶数”.6．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中____________有一个负数．(填“至少”“至多”或“有且只有”)【答案】至少【解析】假设a，b，c，d都是非负数，则a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1×1＝1，这与ac＋bd＞1矛盾．所以假设不成立．代入a＝2，b＝－1，c＝2，d＝－1，满足上述条件，故排除“有且只有”．7．设a＞0，b＞0且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．【证明】(1)a＋b＝＋＝，∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，∴ab＝1.1又a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．故不等式得证．(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2可能同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1，则由b2＋b＜2及a＞0，得0＜b＜1，此时0＜ab＜1与ab＝1相矛盾．故假设不成立．所以a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．B．能力提升8.(2018年绍兴模拟)已知等差数列{an}中，首项a1>0，公差d>0.(1)若a1＝1，d＝2，且，，成等比数列，求整数m的值；(2)求证：对任意正整数n，，，都不成等差数列.【解析】(1)∵a1＝1，d＝2，∴a4＝7，am＝2m－1.∵，，成等比数列，∴2＝.∴(2m－1)2＝492.∵a1>0，d>0，∴m＝25.(2)证明：假设存在k∈N*，使，，成等差数列，即＝＋，则＝＋＝，化简得d2＝3a.又a1>0，d＞0，∴ak＋1＝a1＋kd>d，∴3a>3d2>d2，与d2＝3a矛盾.∴假设不成立，故原命题得证.2
