空间向量与立体几何章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是________．答案②解析根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立；对于③：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；对于④：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|.只有②一定不成立．2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.答案2解析c－a＝(0,0,1－x)，故(c－c)·(2b)＝2(0,0,1－x)·(1,2,1)＝2(1－x)，结合已知得2(1－x)＝－2，解得x＝2.3．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG＝OA＋OB＋OC，则λ＝______.答案3解析如图，正方体中，OA＋OB＋OC＝OD＝3OG，所以λ＝3.4．空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，则向量EF与BC、AD________(是、否)共面．答案是解析如图所示，EF＝EA＋AD＋DF，EF＝EB＋BC＋CF.又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA＝－EB，DF＝－CF，∴2EF＝AD＋BC，∴EF＝AD＋BC. AD与BC不共线，∴EF与AD、BC共面．5．下列命题中，正确命题的个数为______．①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．答案3解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，故①不正确；结合平面法向量的概念，易知②③④正确．6．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE可表示为______(用a，b，c表示)．答案a＋b＋c解析OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.17．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为______．答案，解析如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，故x，y的值都为.8．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是________．①PC与BD②DA与PB③PD与AB④PA与CD答案①解析建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．则PC＝(b，a，－c)，BD＝(－b，a,0)，DA＝(0，－a,0)，PB＝(b,0，－c)，PD＝(0，a，－c)，AB＝(b,0,0)，PA＝(0,0，－c)，CD＝(－b,0,0)．∴PC·BD＝－b2＋a2不一定为0.DA·PB＝0，PD·AB＝0，PA·CD＝0.9．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6OP＝OA＋2OB＋3OC，则下列说法正确的是________．①四点O、A、B、C必共面；②四点P、A、B、C必共面；③四点O、P、B、C必共面；④五点O、P、A、B、C必共面．答案②解析由已知得OP＝OA＋OB＋OC，而＋＋＝1，∴四点P、A、B、C共面．10.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为________．答案解析|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝.11．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．答案解析取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.212.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是________．答案60°解析不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则EF＝BF－BE＝(BB1－BA)，BC1＝BC＋BB1，∴|EF|＝|BB1－BA|＝，|BC1|＝，EF·BC1＝(BB1－BA)·(BC＋BB1)＝，∴cos〈EF，BC1〉＝＝＝， 〈EF，BC1〉∈[0°，180°]，∴〈EF，BC1〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60...
