高中数学第四章导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值基础达标湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

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高中数学第四章导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值基础达标湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题_第1页

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4.3.2函数的极大值和极小值1．函数f(x)＝x＋在x>0时有()．A．极小值B．极大值C．既有极大值又有极小值D．极值不存在解析∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.由得00，∴f(x)在(0，＋∞)有极小值f(1)，但无极大值．答案A2．函数y＝1＋3x－x3有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1时，y′<0；－10.可得f(1)＝3是极大值，f(－1)＝－1是极小值．答案D3．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此f′(x)的图象在原点O左侧第一个与x轴的交点符合条件，且只有1个极小值点，故选A.答案A4．已知函数y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.解析∵f′(x)＝＋2bx＋1，由于f′(1)＝0，f′(2)＝0.∴解得a＝－，b＝－.答案－－5．函数y＝cos2x在(0，π)内的极______值是______．解析y′＝(cos2x)′＝－2sin2x，令y′＝0，得x＝，又当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故y＝cos2x在(0，π)内的极小值是－1.答案小－16．(2011·四川)已知f(x)＝x＋，h(x)＝，设F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值．解F(x)＝f(x)－h(x)＝x＋－(x≥0)．F′(x)＝－x－＝.令F′(x)＝0得x＝.当x∈时，F′(x)<0；x∈时，F′(x)>0.故当x∈时，F(x)是减函数；x∈时，F(x)是增函数．1F(x)在x＝时，有极小值，F＝.7．下列函数中，x＝0是其极值点的是()．A．y＝－x3B．y＝cos2xC．y＝tanx－xD．y＝解析显然x＝0不是y＝－x3，y＝的极值点．又y′＝(cos2x)′＝2cosx(－sinx)＝－sin2x.显然x＝0时，y′＝0，在x0的左右附近y′正、负变化．∴x0＝0是y＝cos2x的极大值点．答案B8．(2011·浙江)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．解析设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex，由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得h′(－1)＝0.即a－2a－b＋b＋c＝0，∴c＝a.f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两个根x1，x2，则x1x2＝1.D图中一定不满足该条件．答案D9．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)∪(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数．所以x＝2时，f(x)取得极小值．答案210．已知函数f(x)＝x·2x取得极小值时，x＝________.解析f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，令f′(x)＝0得x＝－log2e，当x>－log2e时，f′(x)>0；当x<－log2e时，f′(x)<0.∴x＝－log2e时，f(x)取得极小值．答案－log2e11．(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数．①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解f′(x)＝＝①当a＝时，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.当x<时，f′(x)>0；当时，f′(x)>0.∴f(x)在上是增函数，上是减函数，上是增函数．∴x＝是极大值点，x＝是极小值点．2②若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.∴00；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0.∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．∴当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝－3；当x＝3时，g(x)取得极大值g(3)＝15e－3.3

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