2.2.1双曲线的定义与标准方程1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是()．A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线2．双曲线－＝1的焦距为()．A．3B．4C．3D．43．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是()．A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±44．已知方程－＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是()．A．k＞5B．k＞5，或－2＜k＜2C．k＞2，或k＜－2D．－2＜k＜25．设P为双曲线x2－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()．A．6B．12C．12D．246．如图，从双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为__________．7．在△ABC中，已知B(4,0)，C(－4,0)，点A运动时满足sinB－sinC＝sinA，则A点的轨迹方程是__________．8．中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P(3，)和Q(，5)两点的双曲线方程是______．9．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m(m≠0)，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．10．如图，M(－2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足||PM|－|PN||＝2.1(1)求点P的轨迹方程；(2)设d为点P到直线l：x＝的距离，若|PM|＝2|PN|2，求的值．2参考答案1．D∵||MF1|－|MF2||＝6，而F1(－3,0)、F2(3,0)之间的距离为6，即|F1F2|＝6，故||MF1|－|MF2||＝|F1F2|.∴M点的轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线．2．B由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，得2c＝4.3．A由题意，知|F1F2|＝4，根据双曲线的定义，有||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，观察各选项，只有选项A符合双曲线的定义．4．B∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)＞0.即或解得k＞5，或－2＜k＜2.故选B.5．B由已知，得解得∵|F1F2|＝2c＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.∴△PF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形，∴12PFFS＝|PF1|·|PF2|＝12.6．|MO|－|MT|＝b－a设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，OT.在Rt△OTF中，|FO|＝c，|OT|＝a，∴|TF|＝b.由三角形中位线定理及双曲线的定义，知|MO|－|MT|＝|PF′|－(|PF|－b)＝b－(|PF|－|PF′|)＝b－a.7．－＝1(x＞2)∵sinB－sinC＝sinA，∴由正弦定理，得b－c＝a，即|AC|－|AB|＝|BC|，∴|AC|－|AB|＝4.∴点A的轨迹是以C，B为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为－＝1(x＞2)．8．－＝1设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．∵点P，Q在双曲线上，∴解得∴所求双曲线方程为－＝1.9．解：设点P的坐标为(x，y)．依题设，得＝2，即y＝±2x(x≠0)．①因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线，知||PM|－|PN||＜|MN|＝2.∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，∴0＜|m|＜1.因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上，故－＝1.②将①代入②式，得x2＝.∵1－m2＞0，∴1－5m2＞0.解得0＜|m|＜，即m的取值范围为(－，0)∪(0，)．10．解：(1)由双曲线的定义，知点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2的双曲线．因此c＝2，a＝1，从而b2＝c2－a2＝3.所以双曲线的方程为x2－＝1.(2)设P(x，y)，由|PN|≥1，知|PM|＝2|PN|2≥2|PN|＞|PN|，故点P在双曲线的右支上，所以x≥a＝1.3由双曲线方程，有y2＝3x2－3.因此|PM|＝＝＝＝2x＋1.|PN|＝＝＝.从而由|PM|＝2|PN|2，得2x＋1＝2(4x2－4x＋1)，即8x2－10x＋1＝0.所以x＝(舍去x＝)．所以|PM|＝2x＋1＝，d＝x－＝.故＝×＝1＋.4
