2.3.2双曲线及其标准方程（2）一、选择题1．双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为()A．(－，0)B．(－，0)C．(－，0)D．(－，0)解析：双曲线标准方程为－y2＝1，∴c2＝2＋1＝3.∴左焦点坐标为(－，0)．答案：D2．[2014·四川宜宾一模]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D.2解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.∴点P到原点的距离为＝.答案：A3．方程－＝6化简的结果是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x≤－3)D.－＝1(x≥3)解析：方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(4,0)，(－4，0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为－＝1，x≤－3.答案：C4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是()A.－＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－y2＝1解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：D二、填空题5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为__________．解析：方程化为标准形式是－＝1，所以－－＝9，即k＝－1.答案：－16．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．1解析：如图所示，F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．答案：97．[2013·上海静安二模]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．解析：由题意知F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d＝＝＝.答案：三、解答题8．已知点P为双曲线x2－＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长．解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，又|PF1|·|PF2|＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝＝10.又因为|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2.9．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．解：(1)如右图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①又m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8，∴mn＝4＝|F1F2|h，∴h＝.∴M点到x轴的距离为.(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为－＝1.2
