高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第一课时 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第一课时数学归纳法[基础达标]1.下列命题中能用数学归纳法证明的是A.三角形的内角和为180°B.(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R)C.＋＋＝(n＞0)D.cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(sinα≠0，n∈N＋)解析因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求，故选D.答案D2.已知f(n)＝＋＋…＋，则f(k＋1)等于A.f(k)＋B.f(k)＋C.f(k)＋＋＋－D.f(k)＋－解析f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，∴f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.答案C3.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，从n＝k到n＝k＋1一步时，等式左边应增添的式子是________.解析等式左边从k到k＋1需增加的代数式可以先写出n＝k时两边，再将式子中的n用k＋1来代入，得出n＝k＋1时的等式，然后比较两式，得出需增添的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k.答案(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k4.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________.解析假设当n＝k时，5k－2k能被3整除，则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除.故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除.1答案5·(5k－2k)＋3·2k5.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).证明(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立.∴n＝1时等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3答案C2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证A.n＝1成立B.n＝2成立C.n＝3成立D.n＝4成立答案C3.在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是A.an＝－1B.an＝n－1C.an＝－D.an＝－答案D4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上A.k2＋1B.(k＋1)2C.2D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析 当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案D5.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于A.B.C.＋D.－解析 f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.答案D6.某个命题与自然数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得A.n＝6时，该命题不成立B.n＝6时，该命题成立C.n＝4时，该命题不成立D.n＝4时，该命题成立答案C7.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立.答案k＋28.观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出的结论：________.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)29.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假设n＝k时命题成立，推证n＝k＋1时命题也成立，应添加的辅助项为________.答案11·122k＋1－11·122k＋110.用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*).证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除.(2)假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1.由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，而(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被...