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高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第一课时 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第4讲 数学归纳法证明不等式 第一课时 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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第一课时数学归纳法[基础达标]1.下列命题中能用数学归纳法证明的是A.三角形的内角和为180°B.(1-n)(1+n+n2+…+n100)=1-n101(n∈R)C.++=(n>0)D.cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+)解析因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,只有D符合要求,故选D.答案D2.已知f(n)=++…+,则f(k+1)等于A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)+++-D.f(k)+-解析f(k)=++…+,f(k+1)=++…++++,∴f(k+1)=f(k)+++-.答案C3.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,从n=k到n=k+1一步时,等式左边应增添的式子是________.解析等式左边从k到k+1需增加的代数式可以先写出n=k时两边,再将式子中的n用k+1来代入,得出n=k+1时的等式,然后比较两式,得出需增添的式子是(3k-1)+3k+(3k+1)-k.答案(3k-1)+3k+(3k+1)-k4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为________.解析假设当n=k时,5k-2k能被3整除,则n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+3·2k由假设知5k-2k能被3整除,3·2k能被3整除.故5·(5k-2k)+3·2k能被3整除.1答案5·(5k-2k)+3·2k5.求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).证明(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.∴n=1时等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,就是12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时等式也成立,根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N+都成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立答案C3.在数列{an}中,a1=-1,前n项和Sn=-1,先算出数列的前4项的值,根据这些值归纳猜想数列的通项公式是A.an=-1B.an=n-1C.an=-D.an=-答案D4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上A.k2+1B.(k+1)2C.2D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析 当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2.∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.答案D5.设f(n)=+++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于A.B.C.+D.-解析 f(n)=++…+,f(n+1)=++…+++,∴f(n+1)-f(n)=+-=-.答案D6.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(k∈N+)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得A.n=6时,该命题不成立B.n=6时,该命题成立C.n=4时,该命题不成立D.n=4时,该命题成立答案C7.用数学归纳法证明:“当n为奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,在归纳假设中,假设当n=k时命题成立,那么下一步应证明n=________时命题也成立.答案k+28.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,则得出的结论:________.答案n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)29.用数学归纳法证明命题:当n是非负整数时,11n+2+122n+1能被133整除,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题也成立,应添加的辅助项为________.答案11·122k+1-11·122k+110.用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N*).证明(1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1能被a2+a+1整除.(2)假设n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)·(a+1)2k-1.由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,而(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被...

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