3.8共面与平行[A基础达标]1．若a、b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D.若a、b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)解析：选D.当a与b是共线向量时，A不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确；若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，但对空间向量不成，故C不正确，D正确．2．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B．(1，3，)C．(1，－3，)D．(－1，3，－)解析：选B.对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；同理可排除选项C、D；对于选项B，PA＝(1，－4，)，则PA·n＝(1，－4，)·(3，1，2)＝0，故选B.3．已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若OB＋OM＝3OP－OA，则点P与A、B、M()A．共面B．共线C．不共面D．不确定解析：选A.原式变形为OP－OM＝(OA－OP)＋(OB－OP)，即PM＝－PA－PB.因为PA，PB不共线，所以PM，PA，PB共面，即点P与A、B、M共面．4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B.先建系，求MN的坐标，再判断线面关系．5．已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对解析：选A.AB＝(0，1，－1)，AC＝(1，0，－1)，n·AB＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，1所以n⊥AB，n⊥AC.所以n也为α的一个法向量．又α与β不重合，所以α∥β.6．已知l∥α，且l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为(1，，2)，则实数m＝________．解析：由2＋＋2＝0，得m＝－8.答案：－87．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则AB与CD、CE共面．所以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则N(，1，0)．又因为M在四边形EFGH及其内部运动，可设M(0，y，z)，所以MN＝(，1－y，－z)．又容易证明平面B1BDD1的一个法向量是AC，且A(1，0，0)，C(0，1，0)，所以AC＝(－1，1，0)．要使MN∥平面B1BDD1，应有MN⊥AC，即MN·AC＝0，所以－＋1－y＝0，得y＝.故M(0，，z)．因此M点应在线段FH上运动，即M∈FH.答案：M∈线段FH9．直线AB，CD为两异面直线，M，N分别为线段AC，BD的中点，求证：向量AB，CD，MN共面．证明：如图，在封闭图形ABNM中，MN＝MA＋AB＋BN，①在封闭图形CDNM中，MN＝MC＋CD＋DN，②又因为M，N分别为线段AC，BD的中点，所以MA＋MC＝0，BN＋DN＝0，①＋②得2MN＝AB＋CD，即MN＝AB＋CD，所以向量AB，CD，MN共面．10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明：法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0，1，)，N(，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，所以MN＝(，0，)，2DA1＝(1，0，1)，得DA1＝2MN，所以DA1∥MN，所以DA1∥MN.而MN在平面A1BD之外，所以MN∥平面A1BD.法二：建立如法一中的坐标系，B(1，1，0)．设平面A1BD的一个法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，所以MN⊥n.因为MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.[B能力提升]11．下列条件使M与A...
