2.2.1导数的概念2.2.2导数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A.4B.－4C.－2D.2【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.【答案】D2.(2016·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A.f′(x0)>0B.f′(x0)＝0C.f′(x0)<0D.f′(x0)不存在【解析】切线的斜率为k＝－2，由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.【答案】C3.已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A.(1，1)B.(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1)D.(2，8)或(－2，－8)【解析】因为f(x)＝x3，所以lim＝lim＝lim[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).【答案】C4.(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－4＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】设切点为(x0，y0)， lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.【答案】A5.曲线f(x)＝在点处的切线的斜率为()A.2B.－4C.3D.【解析】因为lim＝lim＝lim＝－，所以曲线在点处的切线斜率为k＝f′＝－4.【答案】B二、填空题6.(2016·太原高二检测)若f′(x0)＝1，则lim＝__________.【解析】lim1＝－lim＝－f′(x0)＝－.【答案】－7.曲线f(x)＝x2－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是__________.【解析】因为y＝x2－2x＋3，切点为A(－1，6)，所以斜率k＝f′(－1)＝lim＝lim(Δx－4)＝－4，所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】4x＋y－2＝08.若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________.【解析】设P(x0，y0)，则f′(x0)＝lim＝lim(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0).【答案】(0，0)三、解答题9.(2016·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.【解】由方程组得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10.试求过点P(3，5)且与曲线y＝f(x)＝x2相切的直线方程.【解】lim＝lim＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0). 点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x.又 A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0， 所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为＝，∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25).当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1.(2016·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A.2B.－12C.1D.－2【解析】 lim＝lim＝－1，∴lim＝－2，即f′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.【答案】D2.(2016·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________.【解析】设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝lim＝lim＝lim(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝ax，x0－y0－1＝0，联立以上三式，得解得a＝.【答案】3.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值.【解】因为f′(x)＝lim＝lim＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.因为g′(x)＝lim＝lim＝3x2＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a＝3＋b.①又因为c＝a＋1，c＝1＋b，所以a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式，得4.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)...
