等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A.1,1B.－1，－1C.1,0D.－1,0【解析】法一：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.法二：数列{an}是以－1为首项，－1为公比的等比数列，所以S9＝＝＝－1，S10＝＝0.【答案】D2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A.31B.33C.35D.37【解析】根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.【答案】B3.如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝()A.2n－1B.2n－1－1C.2n＋1D.4n－1【解析】an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝2n－1.【答案】A4.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()【导学号：18082104】A.135B.100C.95D.80【解析】法一：由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝.∴a7＋a8＝40×＝135.法二：由得q2＝，所以a7＋a8＝q4(a3＋a4)＝60×＝135.【答案】A5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.B.C.D.【解析】设{an}的公比为q，由题意知q＞0，a2a4＝a＝1，即a3＝1，S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝，所以a1＝＝4，所以S5＝＝8×＝.【答案】B二、填空题6.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.1【解析】设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝.∴1＋q＝3，∴q＝2.【答案】27.数列11,103,1005,10007，…的前n项和Sn＝________.【解析】数列的通项公式an＝10n＋(2n－1).所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.【答案】(10n－1)＋n28.如果lgx＋lgx2＋…＋lgx10＝110，那么lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝________.【导学号：18082105】【解析】由已知(1＋2＋…＋10)lgx＝110，∴55lgx＝110.∴lgx＝2.∴lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2046.【答案】2046三、解答题9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【解】(1) S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1.又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.当n＝1时a1＝1，不适合上式，∴an＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.10.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.【解】(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.[能力提升]21.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A.3∶4B.2∶3C.1∶2D.1∶3【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.【答案】A2.设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为()A.1673B.1675C.D.【解析】因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2014，所以＝2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.【答案】D3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.【导学号：18082106】【解析】设等比数列{an}的...
