高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法 2.2 综合法与分析法达标训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

2.1比较法2.2综合法与分析法更上一层楼基础·巩固1.求证：a2+3b2≥2b(a+b).思路分析：根据不等式两边均为多项式，作差比较后可以化为完全平方式的形式，容易判定符号，用比较法较好.证明： a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,∴a2+3b2≥2b(a+b).2.证明:10231.思路分析：本题左右两边均含有根式，直接比较不好证明，可以用分析法证明，当然也可以用综合法证之.证明： 23231，又 (23)2-(10)2=62-5=2524<0,∴10231.3.求证：-1≤1122aa<1.思路分析：由于1222aa≥0，所以采用分析法证明,逐步寻求待证不等式的充分条件即可，用分析法证明较好.证明：要证-1≤1122aa，只需证111222aaa≥0，即1222aa≥0，上式显然成立，所以1122aa≥-1.类似地，可以证明1122aa<1.4.已知a,b,c>0,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.思路分析：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2+b2+c2≥ab+bc+ca时，可将a2+b2+c2-(ab+bc+ca)配方为21［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］，亦可利用a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.证明： ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=a(b2+c2-2bc)+b(a2+c2-2ac)+c(a2+b2-2ab)=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0,∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.15.已知a,b,c>0，求证：aabbcc≥(abc)3cba.思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，不妨设a≥b≥c，,则a-b,b-c,a-c∈R+,故尝试用作商比较法.证明：等式关于a,b,c对称，不妨设a≥b≥c，则a-b,b-c,a-c∈R+，且ba,cb，ca都大于等于1.3333333232323)(bcaccbabcababaccabcbacbacbacbbaacbaabccba333)()()(cacbbacacbba≥1.∴aabbcc≥(abc)3cba.6.已知△ABC的三边长是a,b,c，且m为正数，求证：mccmbbmaa.思路分析：直接证明不容易找到思路，选择分析法通过通分变形，用到三角形三边的关系: a,b,c为三边长，∴a+b>c,问题得证.证明：欲证原不等式成立，只要证：a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,按m的降幂整理得,(a+b-c)m2+2abm+abc>0. a,b,c为三边长，∴a+b>c.又m>0,∴(a+b-c)m2+2abm+abc>0成立.所以原不等式成立.综合·应用7.设f(x)=2x2+1,pq>0,p+q=1.求证:对任意实数a,b，恒有pf(a)+qf(b)≥f(pa+qb).思路分析：通过作差变形得到2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1，通过讨论，判断符号，发现证明思路，用综合法去证.证明：考虑原式两边的差.pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)=p(2a2+1)+q(2b2+1)-［2(pa+qb)2+1］=2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1.① p+q=1,pq>0,∴①式=2pqa2+2pqb2-4pqab=2pq(a-b)2≥0.即原式成立.8.设a、b、c∈{正实数}，证明：cbaaccbba222222≥abc.思路分析:通过观察不等式两边的特点，可轮换应用基本不等式，直接用综合法可证，也可用分析法证明.证明： a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+c2a2≥2abc2,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c),2∴cbaaccbba222222≥abc.9.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点.思路分析：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2.要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了.解：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有ntmt2211=s,nsms22=t2,可得t1=nms2,t2=mnnms2)(,从而t1-t2=mnnmnmsmnnmnmmnsmnnmsnms)(2)()(2])(4[2)(222，其中s,m,n都是正数，且m≠n.于是t1-t2<0，即t10时，证明nnnnyxyx11(n∈N...