等差数列和等比数列的复习一、知识要点1．等差数列和等比数列是两种最基本，最常见的数列.应熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，通过通项公式与前n项和公式联系着五个基本量a1,d(或q)，n,an,Sn，“已知其三必可求其余二”，将等差、等比数列问题，转化为关于这五个基本量的运算问题，是常见的解题方法.2．等差、等比数列具有很多特殊性质，在运算时，除转化为基本量，运用方程思想解决之外，还常通过灵活运用性质，从而简化运算，常用性质如下:①考察数列的项的下标之间的联系:等差等比m,n属于N，则an=am+(n-m)dm,n属于N，则an=am·qn-mm,n,p,q属于N，m+n=p+q,则am+an=ap+aqm,n,p,q属于N，m+n=p+q,则am·an=ap·aq②数列的运算:若{an},{bn}为等差数列，则{an±bn}为等差数列若{an},{bn}为等比数列，则{an,bn},{}(bn≠0)为等比数列若{an}为正项等比数列，则{lgan}为等差数列若{an}为等差数列，则{}（C为正常数）为等比数列等.还可以运用等差，等比数列的定义，证明通过其他运算所产生的新数列具有等差或等比的特征，我们应对此加以关注，从而了解新数列的特殊性，运用等差，等比性质解题.③等差或等比的子数列所具有的性质:等差等比若m,n,p成等差，则am,an,ap成等差若m,n,p成等差，则am,an,ap成等比，公比为qn-m.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差，公差为m2dSm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比，公比为qm如等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100，求它的前3m项的和.可设前m项之和为V1，m+1到2m项之和为V2，2m+1到3m项之和为V3，利用V1，V2，V3成等差数列，于是:V1=30,V2=100-30=70,d=70-30=40,所以V3=V2+d=70+40=110.所以前3m项之和S3m=Sm+(S2m-Sm)+(S3m-S2m)=V1+V2+V3=210.再如，{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1·a2·a3……a30=230,求a3·a6·a9……a30的值.若利用等比数列的性质，将数列{an}的前30项分成三组，于是设a1a4a7……a28=xa2a5a8……a29=x·210a3a6a9……a30=x·220于是有230=x(x·210)·(x·220)=x3·230,所以x=1又x属于R,所以x=1,所以a3a6a9……a30=220,由以上两个例可以看出，灵活运用等差、等比数列的有关性质，可以提高解题技能，减少运算量.3．注意运用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决数列综合题时要注意运用数学思想方法以及和函数，不等式知识的联系.二、典型问题:例1．已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2，数列{bn}的每一项都有bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.分析与解答:①判断{an}是等差数列:a1=S1=9当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(10n-n2)-[10(n-1)-(n-1)2]=11-2n.又当n=1,11-2n=9=a1,所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.所以数列{an}是以9为首项，以-2为公差的等差数列.②判断{bn}的特征并转化为等差数列求和，因为bn=|an|,而{an}中，当n≤5时，an>0,当n>5时，an<0,所以{|an|}的前5项与{an}对应项相同，从第6项起，{|an|}各项与{an}对应项符号相反，绝对值相同，所以当n≤5时，Tn=Sn=10n-n2.当n≥6时，Tn=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-an=-(a1+a2+……+an)+2(a1+a2+……+a5)=-Sn+2S5=n2-10n+50.综上所述，可得数列{bn}的前n项和Tn为Tn=点评:运用函数观点去认识数列问题，{bn}虽不是等差数列，但可寻找它与等差数列的联系，通过分类讨论，可将{bn}转化，利用等差求和.所以，结果需用分段函数加以表述.例2．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,……),a1=1,(1)设bn=an+1-2an(n=1,2,……),求证数列{bn}是等比数列.(2)设Cn=(n=1,2,……),求证数列{Cn}是等差数列.(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式分析与解答:(1)因为Sn+1=4an+2所以Sn+2=4an+1+2以上两式等号两边分别相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,……)即an+2=4an+1-4an变形，得an+2-2an+1=2(an+1-2an)因为bn=an+1-2an(n=1,2,……)所以bn+1=2bn.由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,所以a2=5,所以b1=a2-2a1=3,所以bn=3·2n-1(2)Cn=(n=1,2,……)所以Cn+1-Cn=将bn=3·2n-1，代入得，Cn+1-Cn=(n=1,2,……)由此可知，数列{Cn}是公差为的等差数列，它的首项C1=，故Cn=(n-1)=n-.(3)Cn=n-=(3n-1)所以an=2n·Cn=(3n-1)·2n-2(n=1...
