第1课时数学归纳法A．基础巩固1．(2017年大连期末)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，等式左边应为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】根据左边的等式特点，知当n＝1时，左边为1＋a＋a2.故选C．2．记凸k边形的内角和为f，则凸k＋1边形的内角和f＝()A．f＋B．f＋πC．f＋πD．f＋2π【答案】B【解析】因为凸k＋1边形比凸k边形多了一个顶点，所以内角和多了180°.3．(2017年宣城期中)用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．【答案】B【解析】当n＝k时，左端＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(2k)，当n＝k＋1时，左端＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)，故当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)，故选B．4．(2017年东莞期末)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]【答案】B【解析】当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，比较两式，显然可得左边应增添的式子为(k＋1)2＋k2，故选B．5．已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为__________，由此猜想an＝________.【答案】，，，(n∈N*)【解析】a2＝＝＝＝，同理，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，猜想：an＝(n∈N*)．6.(2018年大连双基训练)用数学归纳法证明“(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝”的第二步中，当n＝k＋1时，等式的左边与n＝k时等式的左边的差等于.【答案】3k＋2【解析】[(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋1＋k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＝(k＋k＋2)＋(k＋k＋1)－(k＋1)＝3k＋2.7．(2017年凉山期末)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．【解析】(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.1∴点P2的坐标为∴直线l的方程为2x＋y＝1.(2)①当n＝1时，由(1)可得P1(1，－1)在直线l：2x＋y＝1上．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，点Pk(ak，bk)在直线l上，即2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，∴点Pk＋1(ak＋1，bk＋1)在直线l上，即当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．B．能力提升8．(2017年马鞍山校级期中)是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．【解析】取n＝1,2,3可得解得a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2＝＝，即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立．②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②可知当n∈N*等式成立．故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．2
