第1课时数学归纳法A.基础巩固1.(2017年大连期末)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证当n=1时,等式左边应为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3【答案】C【解析】根据左边的等式特点,知当n=1时,左边为1+a+a2.故选C.2.记凸k边形的内角和为f,则凸k+1边形的内角和f=()A.f+B.f+πC.f+πD.f+2π【答案】B【解析】因为凸k+1边形比凸k边形多了一个顶点,所以内角和多了180°.3.(2017年宣城期中)用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.D.【答案】B【解析】当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1),故选B.4.(2017年东莞期末)用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)[2(k+1)2+1]【答案】B【解析】当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,比较两式,显然可得左边应增添的式子为(k+1)2+k2,故选B.5.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为__________,由此猜想an=________.【答案】,,,(n∈N*)【解析】a2====,同理,a3===,a4==,a5==,猜想:an=(n∈N*).6.(2018年大连双基训练)用数学归纳法证明“(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=”的第二步中,当n=k+1时,等式的左边与n=k时等式的左边的差等于.【答案】3k+2【解析】[(k+2)+(k+3)+…+(k+1+k+1)]-[(k+1)+(k+2)+…+(k+k)]=(k+k+2)+(k+k+1)-(k+1)=3k+2.7.(2017年凉山期末)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*)且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.∴b2==,a2=a1·b2=.1∴点P2的坐标为∴直线l的方程为2x+y=1.(2)①当n=1时,由(1)可得P1(1,-1)在直线l:2x+y=1上.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,点Pk(ak,bk)在直线l上,即2ak+bk=1成立,则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=·(2ak+1)===1,∴点Pk+1(ak+1,bk+1)在直线l上,即当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对n∈N*,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.B.能力提升8.(2017年马鞍山校级期中)是否存在a,b,c使等式2+2+2+…+2=对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.【解析】取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.下面用数学归纳法证明2+2+2+…+2==,即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1).①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立.②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②可知当n∈N*等式成立.故存在a=,b=,c=使已知等式成立.2