典型例题一例1求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．解法一：双曲线的渐近线方程为：（1）设所求双曲线方程为 ，∴① 在双曲线上∴②由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为 ，∴③ 在双曲线上，∴④由③④得，∴所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为： 点在双曲线上，∴∴所求双曲线方程为：，即．说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．典型例题二用心爱心专心例2作方程的图象．分析： ∴方程图象应该是圆及双曲线在轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线的方程是，那么点在曲线上的充要条件是”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．典型例题三例3求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解： ，∴或，∴渐近线方程为当焦点在轴上时，由且，得．∴所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由，且，得．∴所求双曲线方程为说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．典型例题四例4已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准用心爱心专心方程．解： 双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为（1）若，则，∴准线方程为：，∴，∴（2）若，则，∴准线方程为：，∴，∴∴所求双曲线方程为：或说明：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．（2）通过待定系数法求出参数．典型例题五例5中心在原点，一个焦点为的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为，则，解得∴为所求双曲线的标准方程．说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．典型例题六例6求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：，则，∴，∴，∴所求双曲线方程为说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率是双曲线的等用心爱心专心轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线，则，∴∴，∴反之，如果一个双曲线的离心率．∴，∴，，∴，∴，∴双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．典型例题七例7已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．解： ，，∴，∴设点到与焦点相应准线的距离为则∴，∴至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小．即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点．说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．典型例题八例8已知：是双曲线上一点．求：点到双曲线两焦点、的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图，设点到相应焦点、的准线的距离为、．用心爱心专心当点在双曲线的右支上时，，且有∴，当点在双曲线的左支上时，，且有∴，说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：在双曲线的一支上有三个不同点、、与焦点的距离成等差数列，求的值．解：直接利用焦半径公式，得：，，∴，∴，即注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷...
