2.6正态分布[A基础达标]1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为()A．1B.C．2D．4解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1.2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝e，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.4%.)A．4.56%B．13.55%C．27.18%D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.683，P(－6＜ξ＜6)≈0.954，故P(3＜ξ＜6)＝≈＝0.1355＝13.55%，故选B.4．某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A．10B．9C．8D．7解析：选B.因为考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，所以正态曲线关于x＝105对称．因为P(95≤X≤105)＝0.32，所以P(X≥115)＝×(1－0.32×2)＝0.18.所以该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.5．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实根的概率为，则μ＝________．解析：因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实根，所以Δ＝16－4ξ<0，所以ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)．故P(ξ≤4)＝.所以μ＝4.答案：46．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P(ξ>2)＝×[1－2P(0<ξ<1)]＝×(1－0.8)＝0.1.答案：0.17．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正1态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数为1000×0.683＝683.答案：6838．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10800小时”的概率．解：依题意μ＝104，σ＝400，所以P(104－800104＋800)，故2P(X>10800)＋P(104－80010800)＝＝0.023.所以使用时间超过10800小时的概率为0.023.9．如图为某地成年男性体重的正态密度曲线图，试根据图象写出其正态密度函数，并求出随机变量的期望与方差．解：由图易知，该正态密度曲线关于x＝72对称，最大值为，所以μ＝72.因为＝，所以σ＝10，所以正态密度函数的解析式是P(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.[B能力提升]1．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________．解析：由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝.答案：22．工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N，则在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有________个．解析：因为X～N，所以μ＝4，σ＝.所以不属于区间(3，5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.99...
