3．2立体几何中的向量方法3．2.1用向量方法解决平行与垂直问题学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面垂直、平行关系．课堂互动讲练知能优化训练3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题课前自主学案课前自主学案温故夯基1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a∥b⇔_________________________________________．a⊥b⇔____________________________.2．所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量_____________的向量，一条直线的方向向量有______个．平行(或共线)无数a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知新益能1．平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的__________a，则a叫做平面α的法向量．2．空间中平行关系的向量表示方向向量线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔______.a∥b线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_____.面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔_____.a⊥uu∥v空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_____.设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔______.设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔_____.3.空间中垂直关系的向量表示a⊥ba∥uu⊥v一个平面的法向量惟一吗？提示：不惟一．问题探究课堂互动讲练平面的法向量的求解与判定考点突破若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量定义建立关于x，y，z的方程组：n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0，n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量．例例11【思路点拨】【解】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)，由题设得：n·AB→＝0n·AC→＝0即x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0，解之得x＝2yz＝0，取y＝1，则x＝2.故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．利用空间向量证明平行问题用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示．面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行．②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.例例22【思路点拨】先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用直线的方向向量和平面的法向量间的关系证明线面平行和面面平行．【证明】如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2) C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得...
