复数的加减法的运算i142i||.ABCABCDABCDBD�在复平面内点、、对应的复数分别为、、＋，由按逆时针顺序作，求【例1】1i.(42i)132i.(1i)(32i)23i|||23i|13.BAOAOBBABCOCOBBCBDBABCBDBD�������因为＝－，所以向量对应的复数为－＋因为＝－，所以向量对应的复数为＋－＝＋又因为＝＋，所以向量对应的复数为－＋＋＋＝＋【，所以＝＋＝解析】122212()()i||.ZZabZZab��由本题可知复数的加减法的几何意义，即向量的和差分别对应复数的和差．若向量对应的复数为＋，则＝【变式练习1】已知复平面上正方形ABCD的三个顶点是A(1,2)、B(－2,1)、C(－1，－2)，求它的第四个顶点D对应的复数．()(i)(12i)(1)(2)i(12i)(2i)13i.(1)(2)i13i112.2312i.DxyADODOAxyxyBCOCOBADBCxyxxyyD���设，，则＝－对应的复数为＋－＋＝－＋－，＝－对应的复数为－－－－＋＝－因为＝，所以－＋－＝－，所以，解得所以顶点对应的复数为【解－析】利用|z1－z2|的几何意义解题【例2】已知复数z满足2≤|z＋i|≤4，试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹．【解析】因为|z＋i|的几何意义是动点Z到定点－i的距离，所以满足2≤|z＋i|≤4的动点Z的轨迹是以－i为圆心，2为半径的圆外(含边界)和以－i为圆心，4为半径的圆内(含边界)之间的圆环(含边界)，如右图阴影部分所示．12122121||||||ZZZZOZOZzz�在复平面，，的距离＝－＝－是复几何意的基．由复足的件，合复平面的形分析、解，是形合的典型．内两点间数义础数满条结内图来决问题数结22|3i|1.12|1||1|zzzzz若复数满足＋＋求：的最大值和最小值；－＋＋的最大【变式练习2】值和最小值．|3i|1(31)1()()zzMC＋＋表示对应的点在以－，－为圆心，为半径的圆的内部【解析】包括边界如图．(1)|z|表示圆上动点M到原点的距离，所以|z|max＝3，|z|min＝1.(2)因为2(MA2＋MB2)＝AB2＋(2MO)2，所以|z－1|2＋|z＋1|2＝2＋2MO2，而MO最大值为3，最小值为1.所以|z－1|2＋|z＋1|2最大值和最小值分别为20和4.复数的模及几何意义【例3】若复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝8，求|z＋2|的最大值和最小值．【解析】在复平面内满足|z＋2|＋|z－2|＝8的复数z对应的点的轨迹是以点(－2,0)和(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆．|z＋2|表示椭圆上的点到焦点(－2,0)的距离．椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值．因此，当z＝4时，|z＋2|有最大值6；当z＝－4时，|z＋2|有最小值2.此题若令z＝x＋yi，问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理．从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题．【变式练习3】已知|z|＝1，设复数u＝z2－2，求|u|的最大值与最小值．222222222222222222minmax()i()12(i)2(2)2i2444498.01111013i.zxyxyxyuzxyxyxyuxyxyxyxyxxxuzxuzR代数法设＝＋，，则＋＝，所以＝－＝＋－＝－－＋，故＝＝因为，所以当＝时方法：，＝，此时＝；当＝时，＝，此时】＝【解析方法2：(不等式法)因为||z|2－2|≤|z2－2|≤|z|2＋2，把|z|＝1代入，得1≤|z2－2|≤3，故|u|min＝1，|u|max＝3.1.(2011·江苏高考最后一卷)复数1－2i3＋4i在复平面上对应的点位于第三象限．【解析】将1－2i3＋4i化简为1－2i3－4i25＝－5－10i25＝－15－25i，则该复数对应的点位于第三象限．2.满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是圆.3.平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是___________.435342248i.Dziiizz设点对应的复数为，则＝，解得＝【－解析】4.设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i，则z的模为___________.6423|64|36162.|23|49iziizi＝，【所以＝＝】＝解析5.|4i||4i|62|2|zzzz设复数满足＋＋－＝，求＋的最大值．22222222|4i||4i|621218i()|2|22189822202818.8429|2|.82zzxyzzxyxyzxyxxxxxxzR由＋＋－＝的几何意义知对应的点在椭圆＋＝上．设＝＋、，所以＋＝＝＝故当＝时，＋【有最大值解析】复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义转化条件和结论，有效利用数形结合的思想，可取得事半功倍的效果．
