高中数学下学期 3三角恒等变形本章高效整合课件 北师大版必修4 课件VIP专享VIP免费

三角函数式的化简三角函数的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化单角”、“复角化复角”等具体手段．下面以两个例题说明．化简：(1)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α；(2)3sin20°－1sin70°.解析：(1)法一：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝2cos2α－12·1－tanα1＋tanα22cosα＋22sinα2＝2cos2α－11＋sinαcosα1－sinαcosαcosα＋sinα2＝2cos2α－1cosα＋sinαcosα－sinαcosα＋sinα2＝2cos2α－1cos2α－sin2α＝cos2αcos2α＝1.法二：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝2cos2α－12·sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝cos2αsin2π4－α＝cos2αcos2α＝1.(2)原式＝3sin20°－1cos20°＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝232cos20°－12sin20°sin20°cos20°＝2sin60°－20°sin20°cos20°＝2sin40°sin20°cos20°＝4.三角函数式的证明三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简、左右归一、变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消去法、两头凑等．求证：tanx2sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1sin2x.证明：左边＝1－cosxsinxsin2x－cosx－12＝1－cosxsinx2cosx－1＋cos2x－sin2x＝1－cosxsinx2cosx－2cos2x＝12sinxcosx＝1sin2x＝右边．∴原等式成立．三角函数的求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．已知：sinα2sinπ4－α2sinπ4＋α2＝2，求5sin2α－23sinαcosα的值．解析：因为sinα2sinπ4－α2sinπ4＋α2＝sinα2sinπ4－α2cosπ4－α2＝sinαsinπ2－α＝sinαcosα＝tanα＝2.所以5sin2α－23sinαcosα＝3sin2α－2cos2α3sinαcosα＝3tan2α－23tanα＝53.已知：－π2sinx.∴cosx－sinx＝cosx－sinx2＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx＋sinxcosx－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝sin2xsinx＋cosxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.三角恒等变换的综合应用三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问...