3.4基本不等式3.4.1基本不等式的证明ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)课标要求：1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)；2．能用基本不等式证明简单不等式(指只用一次基本不等式即可解决的问题)．重点难点：本节重点：探索基本不等式的证明过程和体会证明不等式的基本思想方法．课标定位重点难点：本节重点：探索基本不等式的证明过程和体会证明不等式的基本思想方法．本节难点：对基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)取等号的理解．基础知识梳理1．对于任意实数a，b，有a2＋b2___2ab，当且仅当______时等号成立．2．对任意两个正实数a、b，a＋b2叫做a，b的___________，ab叫做a，b的___________．(2)成立的前提条件：____________；(3)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．≥a＝b算术平均数几何平均数3．基本不等式(1)形式：___________；ab≤a＋b2a、b是正数a＝b说明：1.对公式a2＋b2≥2ab及ab≤a＋b2的理解(1)两个公式成立的条件是不同的：前者只要求a、b是实数，而后者强调a、b必须是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab取等号，即a＝b⇒a＋b2＝ab；②仅当a＝b时，a＋b2≥ab取等号，即a＋b2＝ab⇒a＝b.2．由公式a2＋b2≥2ab和ab≤a＋b2可以引申出的常用结论为：(1)ba＋ab≥2(a，b同号)；(2)ba＋ab≤－2(a，b异号)；(3)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)(或ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a＞0，b＞0))．课堂互动讲练题型一题型一利用基本不等式比较两数（式）大小在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a≥0，b≥0，问题的一端出现“和式”，另一端出现“积式”，另外还应注意等号能否取到．例例11已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，那么下列不等式：①ab≤14；②ab＋1ab≥174；③a＋b≤2中，正确的序号是________．【分析】分析式子的特点，注意条件a＋b＝1的应用．【解析】①由条件知ab≤a＋b22＝122＝14，①正确；②不能用基本不等式，由①知0＜ab≤14，又 函数f(x)＝x＋1x在0，14上为减函数，∴f(x)≥f14＝4＋14＝174，∴ab＋1ab≥174，∴②正确；③ (a＋b)2＝a＋b＋2ab≤2(a＋b)＝2，∴a＋b≤2，∴③正确．【点评】用基本不等式的关键在于等号能否成立，其次应和函数y＝x＋1x结合．【答案】①②③变式训练变式训练1．已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．解析： a＞2，∴a－2＞0.又 m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2a－2×1a－2＋2＝4，∴当a－2＝1a－2，即a＝3时“＝”成立．m∈[4，＋∞)．由b≠0，∴b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n＜4，∴n∈(0,4)，∴m＞n.答案：m＞n题型二题型二利用基本不等式证明不等式例例22基本不等式和不等式的基本性质是证明不等式的基础，常用的基本不等式有：a2≥0(a∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，ba＋ab≥2(a，b同号)，a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)，a2＋b22≥a＋b22等．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．【分析】根据结构找相应的不等式作为证明的依据．【证明】由基本不等式有a＋b2≤a2＋b22，即a2＋b2≥22(a＋b)，同理：b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，三式相加得证．当且仅当a＝b＝c时等号成立．【点评】不等式两边的结构特征，提示我们选择“a＋b2≤a2＋b22”，而该不等式对a、b∈R就可以了，未必一定是“正数”．变式训练变式训练2．设a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.证明：原不等式即lga＋b2·b＋c2·a＋c2>lg(abc)，因为a，b，c是不全相等的正数，所以a＋b2≥ab，b＋c2≥bc，c＋a2≥ac中至少有两个不能取“＝”，因此a＋b2·b＋c2·c＋a2>abbcac＝abc，故lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lga＋lgb＋lgc.题型三题型三基本不等式成立条件的应用基本不等式成立的条件为一正二定三相等，缺一不可．例例33判断下列各式的正误，并说明理由．(1)f(x)＝12x＋3x的最小值为12；(2)x＞0时，函数f(x)＝1x2＋2x≥21x2·2x＝22x，所以当且仅当x2＝2x即x＝2时，取最小值；(3)x＞0时，x＋1x＋1x＋1x的最小值为2.【分析】解...
