高中数学 数学归纳法 新人教A版选修2 课件VIP免费

2.3数学归纳法你玩过多米诺骨牌吗？如何才能使所有的多米诺骨牌全部倒下？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下！数学归纳法的概念(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立一般地，证明一个与正整数有关的命题,按下列步骤进行:只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.需要注意的两个问题用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立.作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明1例1:证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(nN)∈证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。②假设n=k(kN,k≥1)∈时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，当n=k+1时:1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对nN∈，原等式都成立。例2:求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((kN∈）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切nN,∈原等式均成立。1)22)(12kkk（已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题真，则还要用归纳假设再证（）111111112234242nnnn(2,)nkkk偶A.时等式成立1nkB.时等式成立2nkC.时等式成立22nkD.时等式成立2(2)nkB课堂练习1：设111112321fnnNnnnnfnfn则()C．112122nnＡ．121nＢ．Ｄ．122n112122nn课堂练习2：D课堂练习3：设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立.”那么，下列命题总成立的是（）()fx()fx2()fkk2(1)(1)fkk22.(1)1,(10)100.(2)4,(1)1.(3)9,1,().(4)25,4,()AffBffCfkfkkDfkfkk若成立则成立若成立则成立若成立则当时均有成立若成立则当时均有成立D1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式(这样才好利用归纳假设);二是“凑”目标式。课堂小结谢谢大家