§2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝.2同一常数常数da1＋(n－1)d(2)如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋y2.3．等差中项(1)如果三个数组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．4．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项a1公差d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加.x，A，yy＝dx＋(a1－d)d1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为()A．2B．3C．－2D．－3解析：可得an＋1－an＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－6解析：通项公式an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：C3．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于()A．－2B．－12C.12D．2解析：由题意得a1＋6d－2a1＋3d＝－1，a1＋2d＝0，解得d＝－12.答案：B4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得a1＋2d＝7，a1＋4d＝a1＋d＋6，解得a1＝3，d＝2.所以a6＝a1＋5d＝13.答案：135．在数列{an}中，an＝4n－1，求证：数列{an}是等差数列．证明： an＋1－an＝[4(n＋1)－1]－(4n－1)＝4，∴数列{an}是等差数列．[例1]判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由．(1)0，－3，－6，－9，－12…，；(2)1，－1,1，－1,1，－1…，；(3)6,6,6,6…，；(4)6,5,3,1，－1，－3…，.[分析]验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否等于同一个常数．[解](1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－3，所以是等差数列；(2)因为－1－1＝－2,1－(－1)＝2，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列；(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列；(4)因为5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是一个等差数列．[点评]等差数列的定义要求从第2项起，每项与其前一项的差等于同一个常数，本题易把第(4)问中的数列判断成是等差数列．迁移变式1判断下列各数列是否为等差数列：(1)1,2,4,6,8，…；(2)2,4,6,8，…；(3)0,0,0,0，…；(4)1,2,4,7,11.解：(1)2 －1＝1,4－2＝2,6－4＝2，故该数列不是等差数列．(2)4－2＝6－4＝8－6＝2，是等差数列．(3)0－0＝0－0＝…＝0，是等差数列．(4)2－1＝1,4－2＝2，…，不是等差数列．[例2]已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．[分析]由题目可获取以下主要信息：①数列的通项公式an的表达式；②在表达式中含有参数p，q.解答本题可充分利用等差数列的定义判定或利用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．[解](1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，所以{an＋1－an}是等差数列．迁移变式2已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2，数列{1an}是否为等差数列？说明理由．解：数列{1an}是等差数列，理由如下： a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即{1an}是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．[例3]已知数列{an}是等差数列，且a5＝11，a8＝5，求an.[分析]由于数列{an}是等差数列，只要确定它的首项a1及公差d的值，将其代入通项公式中，构造方程组即可求解．[解]解法1：设{an}的首项为a1，公差为d，则a8＝a...
