2 ． 1.2 椭圆的简单几何性质第 1 课时 椭圆的简单几何性质【课标要求】 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响． 【核心扫描】 1．椭圆的简单几何性质．(重点) 2．求椭圆的离心率．(难点) 3．常结合几何图形、方程、不等式、平面向量等内容命题． 自学导引 椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形(a ＞ b ＞ 0) (a ＞ b ＞ 0) － a≤x≤a且－ b≤y≤b － b≤x≤b 且－ a≤y≤a A1( － a ， 0) 、 A2(a ， 0)B1(0 ，－ b) 、 B2(0 ， b) A1(0 ，－ a) 、 A2(0 ， a)B1( － b ， 0) 、 B2(b ， 0) 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴 ，对称中心 离心率 e＝ ca(0＜e＜1) 2b 2a F1( － c ， 0) 、 F2(c ， 0) F1(0 ，－ c) 、 F2(0 ， c) 2c x 轴和 y 轴 (0 ， 0) 想一想：能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e? 提示 可以由 e＝ca得，e2＝c2a2＝a2－b2a2， ∴e＝1－ba2，∴e＝1－b2a2. 名师点睛 1．椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据 a、b 的值可确定其性质． (2)明确 a，b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由 c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点 B1(或 B2)为圆心，以 a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点． (3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c，e 对应的线段或量为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|， e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2. (4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 题型一 由椭圆方程求椭圆的几何性质 【例 1】 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [思路探索] 先将椭圆方程化为标准形式，再利用 a、b、c 之间的关系求解． 解 已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1， 于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6， 离心率 e＝ca＝ 74 ...
