第七章 立体几何第八节立体几何中的向量方法( 理) 抓 基 础 明 考 向 提 能 力 教 你 一招 我 来 演练 [ 备考方向要明了 ]考 什 么1. 理解直线的方向向量与平面的法向量．2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直、平行关系．3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命 题．4. 能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成 角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何 问题中的应用 . 怎 么 考 利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力．题型多为解答题，难度中档 .2 ．在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a ，那么以向量 a为 法向量且经过点 A 的平面是 ．一、平面的法向量1 ．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的向量，显然一个平面的法向量有 多个，它们是 向量．平面垂直无数共线唯一的二、利用向量求空间角1 ．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a ， b 的方向向量为 a ， b ，其夹角为 θ ，则 cosφ ＝ |cosθ| ＝ ( 其中 φ 为异面直线 a ，b 所成的角 ) ．|a·b||a||b| 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n， 直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有 sinφ＝|cosθ|＝|e·n||e||n|. 3 ．求二面角的大小(1) 如图①， AB 、 CD 是二面角 α － l － β 的两个面内与棱 l 垂 直的直线，则二面角的大小 θ ＝ ．〈 AB�，CD�〉 (2) 如图②③， n1 ， n2 分别是二面角 α － l － β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的小大 θ ＝ ．〈 n1 ， n2 〉 ( 或 π －〈 n1 ， n2 〉 )答案： A1 ．若平面 π1 ， π2 垂直，则下面可以是这两个平面的 法向量的是 ( )A ． n1 ＝ (1,2,1) ， n2 ＝ ( － 3,1,1)B ． n1 ＝ (1,1,2) ， n2 ＝ ( － 2,1,1)C ． n1 ＝ (1,1,1) ， n2 ＝ ( － 1,2,1)D ． n ＝ (1,2,1) ， n2 ＝ (0 ，－ 2 ，－ 2)解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直．2 ． ( 教材习题改编 ) 已知 a ＝ (1,1,1) ， b ＝ (0,2 ，－1) ， c ＝ma ＋ nb ＋ (4 ，－ 4,1) ．若 c 与 a 及 b 都垂直，则m ...
