§2 椭圆、双曲线、抛物线 真题热身 1．(2011·安徽改编)双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是________． 解析 2x2－y2＝8，∴x24 －y28＝1， ∴a＝2，∴2a＝4. 42．(2011·广东改编)设圆 C 与圆 x2＋(y－3)2＝1 外切，与直线 y ＝0 相切，则 C 的圆心轨迹为________． 解析 设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y＝0 的距离为 r.由两圆外切可得，圆心 C 到点(0,3)的距离为 r＋1，也就是说，圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y＝0 的距离大1，故点 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y＝－1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C 的轨迹为抛物线． 抛物线 3．(2011·山东改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近 线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦点为 圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为___________． 解析 双曲线x2a2－y2b2＝1 的渐近线方程为 y＝±bax， 圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4， ∴圆心为 C(3,0)．又渐近线方程与圆 C 相切， 即直线 bx－ay＝0 与圆 C 相切， ∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2. ① 又 x2a2－y2b2＝1 的右焦点 F2( a2＋b2，0)为圆心 C(3,0)， ∴a2＋b2＝9. ② 由①②得 a2＝5，b2＝4. ∴双曲线的标准方程为x25 －y24＝1. x25 －y24＝1 4．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线 C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) 上，C 的焦距为 4，则它的离心率为________． 解析 由题意知 4a2－ 9b2＝1，c2＝a2＋b2＝4 得 a＝1，b＝ 3， ∴e＝2. 2考点整合 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 PF1＋PF2＝2a (2a＞F1F2) |PF1－PF2| ＝2a(2a＜F1F2) PF＝PM，点 F不在直线 l 上，PM⊥l 于 M 标准方程 x2a2＋y2b2＝1 (a＞b＞0) x2a2－y2b2＝1 (a＞0，b＞0) y2＝2px (p＞0) 图形 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于 x 轴，y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 焦点 (±c,0) (p2，0) 轴 长轴长 2a， 短轴长 2b 实轴长 2a， 虚轴长 2b 离心率 e＝ca ＝1－b2a2 (0＜e＜1) e＝ca ＝1＋b2a2 (e＞1) e＝1 准线 x＝－p2 几 何 性 质 渐近线 y＝±bax 分类突破 一、圆锥曲线的定义及几何性质 例 1 (1)已知 P 为椭圆x24 ＋y2＝1 和双曲线 x2－y22 ＝1 的一个交 点,F1、F2为椭圆的...
