第 2 讲 双曲线知 识 梳 理1 .双曲线的概念(1) 第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2(F1F2 = 2c > 0) 的距离的 为常数 ( 小于 F1F2 且不等于零 ) 的点的轨迹叫做双曲线.这两个 叫双曲线的焦点, 的距离叫做双曲线的焦距.(2) 第二定义:平面内到一个定点 F 与到一条定直线 l(F 不在l 上 ) 的距离的比等于常数 e(e > 1) 的点的轨迹叫做双曲线,定点 F 为焦点,定直线 l 称为准线,定比 e 称为离心率. 差的绝对值 两焦点间 定点2 .双曲线的标准方程和几何性质标准方程图 形x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0) y2a2-x2b2=1 (a>0,b>0) 性 质范围x≥a 或 x≤ -a , y∈R对称性 对称轴: ;对称中心: .顶点A1(0 ,-a) , A2(0 , a)渐近线离心率实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 |A1A2| = 2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 |B1B2| =2b ; a 叫做双曲线的半实轴长, b 叫做双曲线的半虚轴长a , b , c的关系c2 = (c > a > 0 , c > b > 0)x∈R , y≤ - a 或 y≥a 坐标轴 原点A1( - a,0) , A2(a,0) y=±bax y=±abx e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 ca a2 + b2 辨 析 感 悟1 .对双曲线定义的认识(1) 平面内到点 F1(0,4) , F2(0 ,- 4) 距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.(×)(2) 平面内到点 F1(0,4) , F2(0 ,- 4) 距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲线.(×)2.对双曲线的标准方程和几何性质的理解 (3)方程x2m-y2n=1(mn<0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(×) (4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线 C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 52 ,则 C 的渐近线方程为 y=±12x.(×) (5)(2013·陕西卷改编)双曲线x216-y29=1 的离心率为 74 . (×) (6)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切. (×) [ 感悟 · 提升 ]1 .一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”,常数必须小于 |F1F2| 且大于零,如 (1) 中应为双曲线的一支;如 (2) 中应为两条射线.2 .三个防范 一是双曲线中的“ a , b , c , e” 和椭圆中的“ a , b , c , e” 既相似又有区别,椭圆中 a2= b2+ c2,而双曲线中 c2 = a2 + b2 ,一定要注意它们的区别,切莫混淆,如 (5) ;二是双曲线x2...