第 2 讲 双曲线知 识 梳 理1 ．双曲线的概念(1) 第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2(F1F2 ＝ 2c ＞ 0) 的距离的 为常数 ( 小于 F1F2 且不等于零 ) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个 叫双曲线的焦点， 的距离叫做双曲线的焦距．(2) 第二定义：平面内到一个定点 F 与到一条定直线 l(F 不在l 上 ) 的距离的比等于常数 e(e ＞ 1) 的点的轨迹叫做双曲线，定点 F 为焦点，定直线 l 称为准线，定比 e 称为离心率． 差的绝对值 两焦点间 定点2 ．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图 形x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0) 性 质范围x≥a 或 x≤ －a ， y∈R对称性 对称轴： ；对称中心： .顶点A1(0 ，－a) ， A2(0 ， a)渐近线离心率实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2| ＝ 2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2| ＝2b ； a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的半虚轴长a ， b ， c的关系c2 ＝ (c ＞ a ＞ 0 ， c ＞ b ＞ 0)x∈R ， y≤ － a 或 y≥a 坐标轴 原点A1( － a,0) ， A2(a,0) y＝±bax y＝±abx e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 ca a2 ＋ b2 辨 析 感 悟1 ．对双曲线定义的认识(1) 平面内到点 F1(0,4) ， F2(0 ，－ 4) 距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线．(×)(2) 平面内到点 F1(0,4) ， F2(0 ，－ 4) 距离之差的绝对值等于8 的点的轨迹是双曲线．(×)2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解 (3)方程x2m－y2n＝1(mn＜0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．(×) (4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线 C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 52 ，则 C 的渐近线方程为 y＝±12x.(×) (5)(2013·陕西卷改编)双曲线x216－y29＝1 的离心率为 74 . (×) (6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切． (×) [ 感悟 · 提升 ]1 ．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于 |F1F2| 且大于零，如 (1) 中应为双曲线的一支；如 (2) 中应为两条射线．2 ．三个防范 一是双曲线中的“ a ， b ， c ， e” 和椭圆中的“ a ， b ， c ， e” 既相似又有区别，椭圆中 a2＝ b2＋ c2，而双曲线中 c2 ＝ a2 ＋ b2 ，一定要注意它们的区别，切莫混淆，如 (5) ；二是双曲线x2...
