一、函数与方程的思想 本章内容为函数，有一些题目把函数的问题利用方程求解，而有的方程利用函数求解，例如讨论一些方程解的情况；已知解范围，求方程中参数的范围等，都习惯利用函数思想 .1. 函数思想【示例 1 】 已知关于 x 的方程 x2 ＋ x+m2 － 1 ＝ 0(m 是与 x 无关的实数 ) 的两个实根在区间 [0,2] 内，求 m 的取值范围 .[ 解 ] 设函数 f(x) ＝ x2 ＋ ＋ m2－ 1 ，由图知，方程的两根都在区间 [0,2] 内的充要条件为故 m 的取值范围为 [1, ].[ 领悟 ] 二次函数在区间 (x1 ， x2) 内有两个根，要考虑端点函数值的符号、判别式及对称轴与 x1 、 x2 的关系，从以上三个方面列式求解 .2. 方程思想【示例 2 】 若函数 f(x) ＝ 的最大值为 4 ，最小值为－ 1 ，求实数 a ， b 的值 .[ 解 ] 设 去分母，得 yx2－ ax ＋ y － b ＝ 0 ，y ＝ 0 显然在函数值域 [ － 1,4] 内；y≠0 时， x∈R ，∴ Δ ＝ a2 － 4y(y － b)≥0 ，即 4y2 － 4by － a2≤0 ，解得－ 1≤y≤4.因而方程 4y2 － 4by － a2 ＝ 0 的两根为－ 1,4.由根与系数的关系，知 b ＝－ 1 ＋ 4 ＝ 3 ， ＝－ 1×4.∴a ＝ 4 ， b ＝ 3 或 a ＝－ 4 ， b ＝ 3.[ 领悟 ] 解决此问题的关键在于把求值域的问题与解一元二次不等式联系在一起，最后由不等式的解集 ( 函数的值域 ) 确定参数 a ， b 的值 . 本题属函数定义域和值域中逆向思维解题，是一个难点 . 从解法上看体现了等价转化的数学思想，它是解决数学综合问题的桥梁 .二、数形结合的思想 数形结合的思想在这一章中用处最多，利用图象研究函数的性质，讨论方程的解的个数，求一些参数的范围等 .【示例 3 】 已知函数 f(x) ＝ － a2x2 ＋ a4(a>0).(1) 求函数 y ＝ f(x) 的单调区间；(2) 若函数 y ＝ f(x) 的图象与直线 y ＝ 1 恰有两个交点，求a 的取值范围 .[ 解 ] (1) 由 f (x)′＝ x3 ＋ ax2 － 2a2x ＝ x(x ＋ 2a)(x － a) ，令 f (x)′＝ 0 得， x1 ＝－ 2a ， x2 ＝ 0 ， x3 ＝ a ，由 a>0 ，知－ 2a<0
