第 6 讲 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么 A 等于( )． A．135° B．105° C．45° D．75°解析 由正弦定理知＝，即＝，所以 sin A＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知 a，b，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角 C 的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，∴cos C＝－，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成等差数列，且 a＝1，b＝，则 S△ABC＝ ( )．A. B. C. D．2解析 A，B，C 成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又 a＝1，b＝，∴＝，∴sin A＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.答案 C4．在△ABC 中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于 ( )．A. B. C. D.解析 设 AB＝c，BC 边上的高为 h.由余弦定理，得 AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即 7＝c2＋4－4ccos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又 h＝c·sin 60°＝3×＝，故选 B.答案 B5．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析 直接根据正弦定理可得＝，可得 sin B＝＝＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 0.答案 A6．已知△ABC 的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC 的周长等于 ( )．A．3＋ B．3C．2＋ D.解析 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，即 a2＋c2－ac＝3.又△ABC 的面积为 acsin ＝，即 ac＝2，所以 a2＋c2＋2ac＝9，所以 a＋c＝3，即 a＋c＋b＝3＋，故选 A.答案 A二、填空题7．如图，△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2，点 D 在 BC 边上，∠ADC＝45°，则 AD的长度等于________．解析 在△ABC 中， AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.答案 8．已知△ABC 的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为 a，a,2a(a>0)，则最大边 2a 所对的角的余弦值为：＝－.答案 －9．在 Rt△ABC 中，C＝90°，且 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足 a＋b＝cx，则实数 x 的取值范围是_______...
