不动点法求数列的通项VIP免费

不动点法求数列的通项 1 不动点法求数列的通项 记函数f(x）的定义域为D，若存在 D，使 ＝f（ )成立，则称（ , ）为坐标的点为函数f（x)图象上的不动点.以此类推，在数列｛an｝中,an+1=f（an) （nN+），若存在 满足方程 ＝f（ ），称 为不动点方程 ＝f( )的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数(递推式）的不动点，通过换元后，化为等比数列,再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法. 一、递推式为an+1=aan+b（a  0,a  1，a，b 均为常数）型的数列 由递推式an+1=aan+b 总可变形为 an+1－ =a（an－ ） …………………………(１） （１） 式中的 与系数a,b 存在怎样的关系呢? 由(１）得an+1=aan＋ －a ∴b= －a 即 ＝a +b …………………………（２） 关于 的方程（２)刚好是递推式an+1=aan+b 中的an，an+1都换成 得到的不动点方程。 令bn=an－ 代入(１）得bn+1=abn 一般来说，可先求等比数列｛bn｝的通项,再求数列{an｝的通项。 例１：在数列｛an}中,已知a1=1，an+1=1－21 an (nN+）,求limnan 。 解：令x=1－21 x 得x=32 an+1－32 =1－21 an－32 =－21 （an－32 ） 令bn=an－32 ，则bn+1=－21 bn ∴数列{bn}成首项为b1=a1－32 =1－32 =31 ,公比为q＝－21 的等比数列，于是有 bn=31 （－21 )n－1即an－32 ＝31 （－21 ）n－1 不动点法求数列的通项 2 ∴an=32 [1－31 (－21 ）n] ∴limnan =32 二、递推式为an+1=dcabaann(c  0，a，b,c，d 为常数）型的数列 an+1－ =dcabaann－ ＝dcadbacann)(=dcacadbacann))(( 令 ＝－cadb可化得  ＝dcba …………………………(３) 关于 的方程(３）刚好是递推式an+1=dcabaann中的an,an+1都换成 后的不动点方程. 错误!当方程（３）有两个不同根１,２时，有 an+1－１＝dcaacann))((11 an+1－２＝dcaacann))((22 ∴2111nnaa＝21caca•21nnaa 令bn=21nnaa有bn＋１＝21caca•bn 一般来说，可先求等比数列｛bn}的通项,后求数列{an}的通项. 例２：数列｛an｝由a1=2，an+1=313nnaa（n≥1）给出，求limnan 。 解：令x=313xx,得x1 =1，x2 =—1,于是有 an+1- 1...