正四面体二面角8种求法

1 二面角求法 正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。 一、 平面角定义法 此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角α -l-β 中，在棱l上取一点O， 分别在α 、β 两个平面内作AO⊥l，BO⊥l， ∠AOB即是所求二面角的平面角。 例题 1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。 解：取BC中点E，连接OE、O1E， 易证⊿BOC、⊿BO1C是等腰三角形。 ∴OE⊥BC，O1E⊥BC， ∴∠OEO1是二面角O1-BC-O的平面角， 连 OO1，OO1⊥平面ABCD， ∴OO1⊥OE 在RT⊿OEO1中，OO1=1，DE=21 ∴tan∠OEO1=22111O EO O ∴所求二面角θ =arctan2。 例题 2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。 B A O l β α H O G F E A D DC1 BAC B OO E A D DC1 BAC B 2 解：连B1D1交EF于G，连BD交AC于O，作GH⊥BD，H是垂足，连GO，易证GO⊥AC，又BD⊥AC ∴∠GOH是所求二面角的平面角， GH=1，OH=42 ∴tan∠GOH=22421O HG H ∴所求二面角θ =arctan22。 利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例 1中 E点，例 2中 O点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。 二、 利用三垂线定理法 此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。 如图二面角α -l-β 中，在平面α 内取一点 A， 过 A作AB⊥平面β ，B是垂足， 由 B（或 A）作BO（或 AO）⊥l， 连接 AO（或 BO）即得 AO是平面β 的斜线， BO是AO在平面β 中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得 AO⊥l，BO⊥l， 即∠AOB是α -l-β 的平面角。 例题 3...