1.1.1 正弦定理讲授新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形，关系式是否成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令 BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知 BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角1三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径 ”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式 A·B=|A||B|Cosθ,其中 θ 为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式 sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.师这一转化产生 了新角 90°-θ,这就为辅助向量 j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量 j,而 j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了 90°-θ 这一形式,这是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于的单位向量 j 是关键,为了产生 j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面...
