2014 年高中数学 1.1.1 正弦定理素材 新人教 A 版必修 5一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知边长 、 、角 A，，则利用正弦定理,如果，则问题无解.如果，则问题有一解;如果求出的，则可得的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设 BC＝A, CA＝B,AB＝C,作 AD⊥BC,垂足为 D.则 Rt△ADB 中, ,∴AD=AB·sinB=csinB.S∴△ABC=.同理,可证 S△ABC=.∴ S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以 abc,可得.即.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC 或 sinA=.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC 中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,则△ABC 是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形分析:运用正弦定理 A=2RsinA,B=2RsinB 以及结论 sin2A-sin2B =sin(A+B)sin(A-B),由（A2+ B2）sin(A-B) = (A2- B2)sinC,(sin∴2A+sin2B)sin(A-B) =(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC.若 sin(A-B)= 0,则 A = B.若 sin(A-B)≠0,则 sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2.1∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选 D.2.在△ABC 中,A=45°，B∶C = 45∶ ，最大边长为 10，求角 B、C,外接圆半径及面积 S.分析：由 A+B+C=180°及 B∶C=45,∶ 可得 B=4K,C=5K，则 9K=135°，故 K=15°.那么 B=60°，C =75°.由正弦定理,由面积公式.点评：求面积时 b 知但可转化为 b=2RsinB,从而解决问题.3.在△ABC 中,已知 A=30°，a、b 别为角 A、B 对边，且 a=4，b=4，解此三角形.分析：由正弦定理知.那么 B1=60°，C1=90°，C1=8 或 B2=120°，C2=30°，C2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有 2 个.4.已知△ABC 的三个内角，，并且 tanA·tanC =2+,（1）求 A、B、C 的度数;（2）若AB 边上的高 CD=4,求三边 a、b、c ...
