圆的第二定义——阿波罗尼斯圆一、问题背景苏教版《数学必修 2》P112 第 12 题：已知点 M(x，y)与两个定点 O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点 M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点 M 所构成的曲线．二、阿波罗尼斯圆公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点 A，B 为两定点，动点 P 满足 PA＝λPB.则 λ＝1 时，动点 P 的轨迹为直线；当 λ≠1 时，动点 P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设 AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(－m,0)，B(m,0)．又设 P(x，y)，则由 PA＝λPB 得＝λ，两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当 λ＝1 时，x＝0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线；当 λ＞1 时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、阿波罗尼斯圆的性质1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比 λ 内分 AB 和外分 AB 所得的两个分点．2．直线 CM 平分∠ACB，直线 CN 平分∠ACB 的外角．3.＝.4．CM⊥CN.5．当 λ＞1 时，点 B 在圆 O 内；当 0＜λ＜1 时，点 A 在圆 O 内．6．若 AC，AD 是切线，则 CD 与 AO 的交点即为 B.7．若过点 B 做圆 O 的不与 CD 重合的弦 EF，则 AB 平分∠EAF.四、范例欣赏例 1 设 A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a＞0)，求 P 点的轨迹．解 设动点 P 的坐标为(x，y)，由＝a(a＞0)，得＝a.化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.当 a≠1 时，得 x2＋x＋c2＋y2＝0，整理得 2＋y2＝2.当 a＝1 时，化简得 x＝0.所以当 a≠1 时，P 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当 a＝1 时，P 点的轨迹为 y 轴．例 2 如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，O1O2＝4，过动点 P 分别作圆 O1，圆 O2 的切线PM，PN(M，N 分别为切点)，使得 PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．解 以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(－2,0)，O2(2,0)，由已知 PM＝PN，得 PM2＝2PN2...
