一、体验高考例.向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如下左图所示，那么水瓶的形状是（B）．hVOHABCD 解：因为容器中总的水量（即注水量）关于的函数图象是凸的，即每当增加一个单位增量，的相应增量越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小.二、曲线的凹凸性与增量法 函数、、、的图象分别如下：显然前三个虽都是增函数,但上升的形状不同：函数的图象是凸的,的图象是凹的,的图象是直线，而最后一个函数的图象是增减交替，即凹凸交替（这里是先凸后凹）．这与日常生活中对凹凸形象的直观认识和理解是一致的． 下面我们用增量法来揭示这四个函数及其图象的本质特征和变化规律．设自变量每增加一个单位增量，函数的对应增量为，，，….xyO)x(f=y△y1△y2 △y3△y4xyO)x(g=y△y1△y2△y3△y4xyO)x(h=y△y1△y2△y3△y4xyO)x(=y xyOxyO)x(f=y)x(g=yxyOxyO)x(h=y)x(=y 由图可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数的相应增量，，，…, 越来越小；函数的相应增量，，，…越来越大；函数的相应增量，，，…，保持不变；而函数φ 的相应增量，，，…的变化是在ＯＡ′Ａ段上越来越小，在ＡＢ′Ｂ段上越来越大． 由此，对上述四个函数，我们可以说：对的每一个单位增量，函数的对应增量（若越来越小，则函数的图象为凸的；若越来越大，则函数的图象为凹的；若先越来越小（或越来越大），再越来越大（或越来越小），则函数图象是先凸后凹（或先凹后凸）交替出现的． 弄清了上述四个函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 三、增量法在凹凸曲线问题中的应用例 1.一高为且满缸水量为的鱼缸的截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图象可能是图中的（B）hvODVHvOhCVHhvOBVHhvOAHV 解：据四个选项提供的信息（从→），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当 增加一个单位增量时，的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故关于的函数图象是先凹后凸的．例 2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法： ①前 5 分钟温度增加的速度越来越快； ②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢； ③ 5 分钟以后温度保持匀速增加； ④5 分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是（B） Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ...
