计算题天天练(七)1.(2015济南一模)2014年12月26日,我国东部14省市ETC联网正式启动运行,ETC是电子不停车收费系统的简称.汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示.假设汽车以v1=15m/s朝收费站正常沿直线行驶,如果过ETC通道,需要在收费站中心线前10m处正好匀减速至v2=5m/s,匀速通过中心线后,再匀加速至v1正常行驶;如果过人工收费通道,需要恰好在中心线处匀减速至零,经过20s缴费成功后,再启动汽车匀加速至v1正常行驶.设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2.求(1)汽车过ETC通道时,从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小;(2)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间是多少?2.如图所示,两个同心圆,半径分别为r和2r,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B.圆心O处有一放射源,放出粒子的质量为m,带电荷量为q,假设粒子速度方向都和纸面平行.(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向,OA与初速度方向夹角为60°,要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点,则初速度的大小是多少?(2)要使粒子不穿出环形区域,则粒子的初速度不能超过多少?3.(2015宁德市普高质检)如图,在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道,水平轨道的PQ段铺设特殊材料,调节其初始长度为l,水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定,弹簧处于自然伸长状态.可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v0冲上轨道,通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧,并被弹簧以原速率弹回.已知R=0.4m,l=2.5m,v0=6m/s,物块质量m=1kg,与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4,轨道其他部分摩擦不计.取g=10m/s2.求:(1)物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力大小;(2)物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能;(3)物块仍以v0从右侧冲上轨道,调节PQ段的长度l,当l长度是多少时,物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动.计算题天天练(七)1.解析:(1)过ETC通道时,减速的位移和加速的位移相等,均为:s1==m=100m.所以总的位移:s总1=2s1+10m=210m.(2)过ETC通道时;t1=×2+=22s.过人工收费通道时:t2=×2+20s=50s,s2=×2=225m.二者的位移差:Δs=s2-s1=225m-210m=15m.在这段位移内过ETC通道的车以15m/s做匀速直线运动,所以Δt=t2-t1+=27s.答案:(1)210m(2)27s2.解析:(1)如图(甲)所示,设粒子在磁场中的轨道半径为R1,则由几何关系得R1=,又qv1B=得v1=.(2)如图(乙)所示,设粒子轨道与磁场外边界相切时,粒子在磁场中的轨道半径为R2,则由几何关系有(2r-R2)2=+r2可得R2=,又qv2B=,可得v2=.故要使粒子不穿出环形区域,粒子的初速度不能超过.答案:(1)(2)3.解析:(1)设物块冲上圆形轨道最高点B时速度为v,由机械能守恒得:m=mv2+2mgR,物块到圆弧轨道的最高点B点,由牛顿第二定律得:N+mg=,解得:N=40N,由牛顿第三定律,物块对轨道压力大小为40N,方向竖直向上.(2)物块在Q点时速度为v0=6m/s,在PQ运动时,由牛顿运动定律有:μmg=ma,由运动规律l=v0t-at2解得在PQ段运动时间:t=0.5s,设物块在P点时速度为v1,有-=-2al,由能量守恒定律可知,物块压缩弹簧时,动能转化为弹性势能,有:Epm=m,解得Epm=8J.(3)设物块以v0冲上轨道直到回到PQ段右侧Q点时速度为v2,有:-2μmgl=m-m,要使物块恰能不脱离轨道返回A点,则物块能沿轨道上滑至最高点且在最高点的速度大小为v3,则满足:m=2mgR+m,且mg=.解得l=1m.答案:(1)40N(2)0.5s8J(3)1m
