2．3 幂函数2．3.1 幂函数的概念2．3.2 幂函数的图象和性质[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．[知识链接] 函数 y＝x，y＝x2，y＝(x≠0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性y＝xRR递增奇y＝x2R[0 ，＋∞ ) 在( －∞， 0) 上递减偶在[0 ，＋∞ ) 上递增y＝{ x | x ≠0} {y|y≠0}在(－∞，0)上递减奇在(0，＋∞)上递减[预习导引]1．幂函数的概念一般来说，当 x 为自变量而 α 为非 0 实数时，函数 y＝xα叫作(α 次的)幂函数．2．幂函数的图象与性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象定义域RRR[0 ，＋∞ ) ( －∞， 0) ∪(0 ，＋ ∞ ) 值域R[0 ，＋∞ ) R[0 ，＋∞ ) { y | y ∈ R ，且 y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性递增x∈[0，＋∞)递增；x∈(－∞，0]递减递增递增x∈(0，＋∞)递减；x∈(－∞，0)递减定点(1,1)要点一 幂函数的概念例 1 函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解 根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1，当 m＝2 时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，当 m＝－1 时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．∴f(x)的解析式为 f(x)＝x3.规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．2．幂函数 y＝xα(α∈R)中，α 为常数，系数为 1，底数为单一的 x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．跟踪演练 1 已知幂函数 f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则 f(100)＝________.答案 10解析 由题意可知 f(9)＝3，即 9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝，∴f(100)＝＝10.要点二 幂函数的图象例 2 如图所示，图中的曲线是幂函数 y＝xn在第一象限的图象，已知 n 取±2，±四个值，则相应于 c1，c2，c3，c4的 n 依次为( )A．－2，－，，2 B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当 n＞0 时，对于 y＝xn，n 越大，y＝xn增幅越快，n＜0 时看|n|的大小．根据幂函数 y＝xn的性质，在第一象限内的图象当 n＞0 时，n越大，y＝xn递...
