第 8 讲 函数与方程[考纲解读] 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点)2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测 2021 年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.1.函数的零点(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使□f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．用二分法求函数 f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε；(2)求区间(a，b)的中点 x1；(3)计算 f(x1)① 若 f(x1)＝0，则 x1就是函数的零点；② 若□f ( a )· f ( x 1)<0，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))；③ 若□f ( x 1)· f ( b )<0 ，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)～(4)．3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点□2□1无零点个数□2□101．概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)＜0.( )(3)若 f(x)在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)＞0，则 f(x)在(a，b)内没有零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．小题热身(1)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345F(x)－4－2147在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案 B解析 由已知得 f(2)·f(3)<0，所以函数 f(x)必有零点的区间为(2,3)．(2)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案 A解析 能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有 A 不满足此条件．故选 A.(3)函数 f(x)＝x－x零点的个...
