第 3 讲 数列的综合问题1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一 利用 Sn，an的关系式求 an1．数列{an}中，an与 Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项 an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例 1 已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前 n 项和 Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设 cn＝，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.解 (1) a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n. bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②由①－②，得 bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn (n∈N*，n≥2)，∴bn＋1＝2bn (n∈N*，n≥2)． b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}为首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴bn＝2n.(2)由 cn＝＝，Tn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，得Tn＝＋＋…＋－＝1－，∴Tn＝2－.思维升华 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.跟踪演练 1 (2017·天津市红桥区重点中学八校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn－n＝2(an－2)(n∈N*)．(1)证明：数列{an－1}为等比数列；(2)若 bn＝an·log2(an－1)，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.(1)证明 Sn－n＝2(an－2)，当 n≥2 时，Sn－1－(n－1)＝2(an－1－2)，两式相减，得 an－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)，∴＝2(常数)．又当 n＝1 时，a1－1＝2(a1－2)，得 a1＝3，a1－1＝2，∴数列{an－1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．(2)解 由(1)知，an－1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋1，又 bn＝an·log2(an－1)，∴bn＝n(2n＋1)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，设 An＝1×2＋2×22＋3×2...
