第 3 课时 定点、定值、探索性问题定点问题【例 1】 (2019·开封第一次质量预测)已知动圆 M 恒过点(0,1)，且与直线 y＝－1 相切．(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)动直线 l 过点 P(0，－2)，且与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点 M 与点(0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y＝－1 的距离，由抛物线定义知圆心 M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线 y＝－1 为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心 M 的轨迹方程为 x2＝4y.(2)证明：由题知，直线 l 的斜率存在，∴设直线 l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(－x2，y2)，联立得 x2－4kx＋8＝0，∴kAC＝＝＝，则直线 AC 的方程为 y－y1＝(x－x1)，即 y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋. x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，故直线 AC 恒过定点(0,2)．[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F(1,0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C上异于 O 的两点．(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA，OB 的斜率之积为－，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.(2)证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，设 A，B.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－，所以·＝－，化简得 t2＝32.所以 A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x＝8.② 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得 ky2－4y＋4b＝0.1由根与系数的关系得 yAyB＝，因为直线 OA，OB 的斜率之积为－，所以·＝－，即 xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，解得 yAyB＝－32 或 yAyB＝0(舍去)．所以 yAyB＝＝－32，即 b＝－8k，所以 y＝kx－8k，即 y＝k(x－8)．综上所述，直线 AB 过定点(8,0)．定值问题【例 2】 已知椭圆 C：＋＝1，过点 A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．[解] (1)由椭圆过点 A(2,0)，B(0,1)知 a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，又 c＝＝.所以椭圆离心率 e＝＝.(2)证明：设 P 点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则 x＋4y＝4，...
