第十二章 平 面 向 量一、平面向量的实际背景及基本概念1.向量既有________又有________,但两个向量不能比较大小.2.与向量有关的概念:(1)零向量:________的向量,记作 0.(2)单位向量:长度等于________个单位长度的向量.(3)向量的模(长度):向量的大小,记作:||.3.两个向量间的关系:(1)相等向量:________的向量.(2)平行向量(共线向量)二、平面向量的线性运算1.向量的加法法则是________法则与________法则.2.共线向量定理:向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有________一个实数 λ,使________.3.向量数乘运算的规律:(1)λ(μa)=________.(2)(λ+μ)a=________.(3)λ(a+b)=________.三、平面向量基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的________向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=________.四、平面向量的数量积1.向量的数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的乘积.2.两个向量的数量积:设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a·b=______.3.平面两向量数量积的坐标表示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=________.4.几个常用公式:(1)a⊥b________.⇔(2)当 a 与 b 同向时,a·b=________.当 a 与 b 反向时,a·b=________.特别地,a·a=________=________或|a|=.(3)cosθ=________(θ 为 a 与 b 的夹角).(4)|a·b|________|a||b|.5.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b________,⇔a⊥b________.⇔6.向量数量积的运算律:(1)交换律:a·b=________.(2)结合律:(λa)·b=________=________.(3)分配律:a·(b+c)=________.五、平面向量应用举例用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1.转化:建立平面几何与向量的联系,用________表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为________.2.运算:通过向量________,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.3.翻译:把运算结果“翻译”成几何关系.热点一 向量的有关概念辨析问题【例 1】给出下列四种说法,其中正确的说法是 ( )A.相等的向量即为模相等的向量B.方向不同的向量也有可能相等C.平行向量即为方向相同的向量D.0 平行于任何一个向量热点二 向量的线性运算【例 2】(1)在△ABC 中,已知点 D 为边 BC 的靠近点 B 的三等分点,设=a,=b,则= ( )A. a- bB. b- aC. a- bD. b- a(2)已知 E 为△ABC 的边 BC 的中点,△ABC 所在平面内有一点 P,满足++=0,设=λ,则 λ 的值为 (...
