第 16 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.[2013·全国卷Ⅰ] 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.[试做] 命题角度 圆锥曲线的最值问题常用的方法有三种:一是转化为函数的最值问题,先引入变量,再构建函数,然后去求值域;二是转化为基本不等式问题,利用已知或者隐含的不等关系,构建不等式求解;三是数形结合,利用圆锥曲线的几何意义求解.2.[2016·全国卷Ⅱ] 已知 A 是椭圆 E: x24+ y23=1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明:❑√30).(1)证明:k<-12;(2)设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且⃗FP+⃗FA+⃗FB=0,证明:2|⃗FP|=|⃗FA|+|⃗FB|.[试做] 命题角度 解析几何中的证明问题解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:① 证明两直线平行或垂直的方法:a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有 l1∥l2⇔k1=k2;b.若两直线的斜率均存在,则一定有 l1⊥l2⇔k1·k2=-1.② 解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.解答 1 最值问题1 已知抛物线 C1:y2=8x 的焦点也是椭圆 C2: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,点 P(0,2)在椭圆短轴 CD 上,且⃗PC·⃗PD=-1.(1)求椭圆 C2的方程;(2)设 Q 为椭圆 C2上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过椭圆的右...
