第 2 讲 圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一 圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )A．＋y2＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1解析：选 B．由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接 F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得 m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O 为坐标原点)，则 sin θ＝.在等腰三角形 ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得 a2＝3.又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为＋＝1.故选 B．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1 的一个焦点，则 p＝( )A．2 B．3C．4 D．8解析：选 D．由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得 p＝8，故选 D．3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1解析：选 B．法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，因为双曲线与椭圆＋＝1 有公共焦点，所以 4k＋5k＝12－3，解得 k＝1，故双曲线 C 的方程为－＝1.故选 B．法二：因为椭圆＋＝1 的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1 有公共焦点，所以 a2＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为 y＝x，所以＝②，联立①②可解得 a2＝4，b2＝5，所以双曲线 C 的方程为－＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝____________．解析：法一：依题意，抛物线 C：y2＝8x 的焦点 F(2，0)，准线 x＝－2，因为 M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，M 为 FN 的中点，设 M(a，b)(b>0)，所以 a＝1，b＝2，所以N(0，4)，|FN|＝＝6.法二：依题意，抛物线 C：y2＝8x 的焦点 F(2，0)，准线 x＝－2，因为 M 是 C 上一点，FM的延长线交 y 轴于点 N，M 为 FN 的中点，则点 M 的横坐标为 1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.答案：6题型二 圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知 F1，F2是椭圆 C...
