第五节椭圆[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.k>1C.k>0D.无法确定1.A【解析】将方程x2+ky2=2化为标准方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则>2,解得0
b>0)交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()A.B.-1C.-1D.4.B【解析】如图所示,设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则OF2=OA=OB=OF1=c,∠AF2B=,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=,所以AF2=c,AF1=c,由椭圆定义得c+c=2a,故离心率e=-1.5.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为()A.B.-C.D.-5.D【解析】设点M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则y2=b2-=b2-,所以k1·k2==--1=e2-1=-,即k1·k2的值为-.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2015·重庆期末测试)若椭圆的焦距、短轴长、长轴长依次构成等差数列,则该椭圆的离心率是.6.【解析】由椭圆的2c,2b,2a构成等差数列得2b=c+a,则4b2=4(a2-c2)=c2+2ac+a2,化简得5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0,且椭圆的离心率e∈(0,1),故e=.7.(2015·上海十三校联考)若椭圆的方程为=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.7.4或8【解析】由椭圆的焦距为4得c=2,当26时,椭圆焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8.故a=4或8.8.(2015·江苏盐城中学月考)若椭圆上存在一点P与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形,则椭圆的离心率为.8.【解析】设椭圆的两个焦点分别为点F1和F2,若以F1F2为底边,则点P在短轴的一个端点上,则e1==sin60°=;若以F1F2为一条腰,则PF1=2c,PF2=2c,由椭圆定义可得PF1+PF2=2c+2c=2a,此时离心率e2=.9.已知点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值是.9.6【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.三、解答题(共20分)10.(10分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.10.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代入得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代入得b2=9,a2=81,故椭圆的方程为=1.综上,椭圆的标准方程为+y2=1或=1.11.(10分)已知直线l:y=kx+2(k为常数),过椭圆=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d.(1)若d=2,求k的值;(2)若d≥,求椭圆离心率e的取值范围.11.【解析】(1)取弦的中点为M,连接OM,由平面几何知识得OM=1,再由点到直线的距离公式得OM==1,解得k2=3,k=±,又直线过点F,B,则k>0,则k=.(2)设弦的中点为M,连接OM,则OM2=,所以d2=4,解得k2≥,所以e2=,则0b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.1.C【解析】设点P(x,y),则=->-,所以离心率e=,又椭圆离心率e<1,所以该椭圆离心率的取值范围是.2.(5分)设椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)()A.在圆x2+y2=2内B.在圆x2+y2=2上C.在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能2.A【解析】由题意可得a=2c,b=c,所以方程ax2+bx-c=0,即为2...
