第六节正弦定理和余弦定理及其应用[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·淮安联考)在△ABC中,a=2,b=2,B=,则S△ABC=()A.2B.3C.6D.61.A【解析】由正弦定理得,得sinA=,又b>a,则B>A,所以A=,∠C=,故S△ABC=ab=×2×2=2.2.(2015·西北工业大学附中期末考试)在三角形ABC中,a,b,c是边A,B,C对边,若a2-c2=2b,且sinB=6cosA·sinC,则b=()A.4B.3C.2D.12.B【解析】由sinB=6cosA·sinC得b=6c·,即2b2=3a2-3c2=6b,所以b=3.3.(2015·南京三模)在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边是a,b,c,且A=,acosC+ccosA=2bcosA,则sinB+sinC的取值范围是()A.B.C.D.3.A【解析】sinB+sinC=sinB+sin=sinB+sincosB-cossinB=sinB+cosB=sinB+,∵0b,则B=()A.B.C.D.4.A【解析】利用正弦定理,化简已知等式得sinAsinB·cosC+sinCsinBcosA=sinB,∵sinB≠0,∴sinA·cosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=.∵a>b,∴A>B,即B为锐角,所以B=.5.(2015·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为()A.10B.9C.8D.75.C【解析】由cosA=-,可得sinA=,而S=bcsinA=3,可得bc=24,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+12=(b-c)2+2bc+12=64,解得a=8.6.(2015·合肥质检)△ABC中,∠ABC=30°,AB=,BC边上的中线AD=1,则边AC的长度为()A.1或B.C.D.1或6.A【解析】由正弦定理可知,则sin∠ADB=,所以∠ADB=60°或∠ADB=120°.当∠ADB=60°时,BD=2,DC=2,∠ADC=120°,由余弦定理得AC=.当∠ADB=120°时,BD=1,DC=1,∠ADC=60°,所以△ADC为等边三角形,所以AC=1.综合得AC的长度为1或.7.(2016·河南林州一中质检)在△ABC中,角A,B的对边分别为a,b,且A=2B,sinB=,则的值是()A.B.C.D.7.D【解析】由A=2B知sinA=sin2B=2sinBcosB,又由sinB=知cosB=,所以由正弦定理得=2cosB=2×.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2015·北京高考)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.8.1【解析】由余弦定理得cosA=,由正弦定理得=1.9.(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.9.7【解析】由题可得c=5,b=8,那么由S=bcsinA=10可得sinA=,又由于该三角形是锐角三角形,则有cosA=,那么由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=49,解得a=7.三、解答题(共10分)10.(10分)(2015·山东实验中学一模)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别是a,b,c,且满足(2b-c)cosA-acosC=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,△ABC的面积S△ABC=,试判断△ABC的形状,并说明理由.10.【解析】(1)∵(2b-c)cosA-acosC=0,∴(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,∴2sinBcosA=sin(A+C),∴2sinBcosA=sinB,∴cosA=,∴A=.(2)∵S△ABC=,∴bcsinA=,∴bc=3.∵cosA=,∴b+c=2.∴b=c=.又A=,∴△ABC是等边三角形.[高考冲关]1.(5分)(2016·南昌摸底)在△ABC中,sinA==8,则△ABC的面积为()A.3B.4C.6D.1.A【解析】因为=bc·cosA=8,又因为sinA=,所以cosA=,因此bc=10,所以S△ABC=bcsinA=×10×=3.2.(5分)(2015·重庆高考)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.2.【解析】在△ABD中,由正弦定理得sin∠ADB=.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,所以∠BAC=2∠BAD=30°,所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°,所以BC=AB=,于是由余弦定理得AC=.3.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列,则cosB=;若同时边a,b,c成等比数列,则cos2A=.3.-【解析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用.若角A,B,C成等差数列,则2B=A+C,又A+B+C=π,故B=,cosB=.若同时边a,b,c成等比数列,则b2=ac,cosB=,则a=c,故A=B=C=60°,cos2A=-.4.(12分)(2016·浙江温州中学等五校联考)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2sinB,2-cos2B),n=,m⊥n,a=,b=1.(1)求角B的大小;(2)求c的值.4.【解析】(1)因为m·n=0,所以4sinBsin2+cos2B-2=0,则2sinB+cos2B-2=0,所以sinB=,又B∈(0,π),则B=,又a>b,所以B=.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,解得c=2或c=1.5.(13分)(2016·云南玉溪一中月考)△ABC的内角A,B,C及所对的边分别为a,b,c,已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.5.【解析】(1)由倍角公式知原等式可化为sin2A-sin2B,即sin=sin,∵a≠b,∴A≠B.又∵A,B∈(0,π),∴2B-+2A-=π,∴C=.（2）由正弦定理可求得a=,∵a
