第 1 讲 有理数的巧算金牌导引常用拆项公式：(1)=+；(2)=-(3)=-；(4)=-常用代数公式：(1)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；(2)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(3)1+2+3+…+n=；(4)12+22+32+…+n2=(5)13+23+33+…+n3=(1+2+3+……n)2【金牌例题 1】【陈老师指路】在乘除运算中，常把小数化成分数，把带分数化成假分数．(1)[47-(18.75-1÷)×2]÷0.46(2)【金牌例题 2】(1)计算 211×555+445×789+555×789+211×445(“分组求和”)(2)已知 S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n，求 S 的值。【陈老师指路】任何相邻两项之和为“1”或“-1”，讨论 n 的奇偶性．原式＝-或+1。(3)在数 1，2，3，…，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？【陈老师指路】每连续四个数分为一组，添括号得到“零”．【金牌例题 3】(1)计算 103×97×10009【陈老师指路】两次运用平方差公式进行运算。原式=99999919．(2)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．【陈老师指路】在(2+1)前加一个(2-1)，再连续运用平方差公式．原式=264-1．(3)计算(1-)(1-2)……(1-)(1-)【陈老师指路】运用平方差公式后，再分 2 组[加法]与[减法]单独相乘。原式=【金牌例题 4】(1)计算(+++…+)(1++++…+)-(1++++…+)(+++…+)【陈老师指路】设 A=+++…+。原式=(2)计算【陈老师指路】设 n=12346，则分母 n2-(n-1)(n+1)．原式=24690．【金牌例题 5】(1)计算 33+43+53+63+…+103=【陈老师指路】套用公式，用[有借有还法]解题。(2)计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．【陈老师指路】这是等比数列，公比是 5，故将原式扩大 5 倍。设 S=1+5+52+…+599+5100，5S=5+52+53+…+5100+51015S-S=5101-1；S=【金牌例题 6】(1)计算(+++……+)【陈老师指路】用裂项法计算=(-)×原式=(2)计算++++…+【陈老师指路】先化成带分数，再裂项计算。(3)计算(7+3 -2-1)÷(15+7-4-3)【陈老师指路】找到前后数之间的关系。第 1 讲有理数巧算1．计算下列各题(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999(2)1991×1999-1990×2000(3) 1+2-3-4+5+6-7-8+…+2025+2025-2025-2025+2025(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636(5) +++…+(6) 1++++…+(7)1-2+3-4+5-6(8)999×998998999-998×999999998(9)(+++…+)(1++++…+)-(1++++…+)(+++…+)(10)32025+32025+32025+…++++(11)(17+27-11)÷(13+8-5)2．比较：S=++++…+(n 是正整数)与 2 的大小。3．从 2025 里减去它的，再减去余下的，再减去余下的，……依次类推，一直减到余下的，试求最后余下的数。4．设 S=+++…+，T=+++…+，则 S-T 等于 。【想】=(-)×=-，裂项后的算式与-T 组合即可。5．计算 1-2+3-4+5-6+7-8+96．比较：S=++++…+(n 是正整数)与 2 的大小。7．解方程[x- (x-1)]= (x-1)-=+6 [(x+2)-10]+1=0-=
