高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.两角差的余弦公式 把 cos（α-β）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究 ，如下图，设 α,β 的终边分别与单位圆交于点 P1（cosα,sinα）,P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数，所以我们只考虑 0≤α-β＜π 的情况.设向量 a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),则 a·b=|a||b|·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是，对于任意的 α、β,都有上述式子成立.2.两角和的余弦公式 比较 cos（α-β）与 cos（α+β）,并且注意到 α+β 与 α-β 之间的关系：α+β=α-(-β),则由两角差的公式得：cos （ α+β ） =cos ［ α-(-β) ］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosα·cosβ-sinαsinβ，即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的 α、β 都是任意角.（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧.如 2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用【例 1】 利用公式 Cα-β,Cα+β证明下列等式.(1)cos(π-α)=-cosx;(2)cos(-α)=-sinα.解析:（1）cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα.(2)cos(-α)=coscosα+sin·sinα=0·cosα-sinα=-sinα.【 例 2 】 已 知 sinα=,cosβ=,α 、 β 均 为 第 二 象 限 角 ， 求 cos （ α-β）,cos(α+β).解析:由 sinα=,α 为第二象限角,∴cosα=.又由 cosβ=-,β 为第二象限角,∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(-)×()+×=.【 例 3 】 已 知＜ β ＜ α ＜,cos(α-β)= ,sin(α+β)= , 求 cos2α 与cos2β.解析：∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜,π＜α+β＜,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=,∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-×+()×=-.cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=.
