第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:向量加法的运算法则?问题 2:向量减法的几何意义?问题 3:一质点从点 O 出发做匀速直线运动,若经过 1s 的位移对应的向量用 a 表示,那么在同方向上经过 3s 的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果? 二、学生探索,尝试解决问题 1:向量的加法:问题 2:向量的减法:问题 3:3a.三、信息交流,揭示规律问题 4:已知非零向量 a,作出 a+a+a 和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗?(1)相加后,和的长度和方向有什么变化?(2)这些变化与哪些因素有关?1.数乘的定义: . (1) ; (2)当 λ>0 时, ; 当 λ<0 时, . 由(1)可知,当 λ=0 或 a=0 时, . 问题 5:求作向量 3(2a)和 6a(a 为非零向量),并进行比较.1问题 6:已知向量 a,b,求作向量 2(a+b)和 2a+2b,并进行比较.2.向量数乘的运算律设 a,b 为任意向量,λ,μ 为任意实数,则有:结合律: . 第一分配律: . 第二分配律: . 问题 7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?问题 8:如果 b=λa(a≠0),那么,向量 a 与 b 是否共线?问题 9:b 与非零向量 a 共线,那么,b=λa?3.向量共线定理四、运用规律,解决问题【例 1】计算(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).【例 2】已知任意两非零向量 a,b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断 A,B,C 三点之间的位置关系吗?为什么?五、变式演练,深化提高练习 1:若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上?练习 2:设 a,b 是不共线的两个非零向量,(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C 三点共线;(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.2让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业)六...
