高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式 第1课时 平均值不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

第 1 课时 平均值不等式学习目标：1.了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值．(易错、易误点)2.掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式．(重点、难点)教材整理 平均值不等式阅读教材 P10～P12“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．定理 1：对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号)．2．定理 2：对任意两个正数 a，b，有≥(当且仅当 a ＝ b 时取“＝”号)．语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理 3：对任意三个正数 a，b，c，有 a3＋b3＋c3≥3 abc (当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．4．定理 4：对任意三个正数 a，b，c，有≥(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x＋≥2.( )(2)ex＋≥2.( )(3)当 a，b，c 不全为正数时，≥成立.( )(4)＋＋≥3.( )[解析] (1)× 当 x>0 时，x＋≥2，当 x<0 时，x＋≤－2.(2)√ 因为 ex>0，∴ex＋≥2，当且仅当 x＝0 时取等号．(3)× 如 a＝1，b＝c＝－1 时，＝－，但＝1.这时有<.(4)× 当 a，b，c 同号时，，，均为正数，有＋＋≥3，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×平均值不等式的条件判定【例 1】 命题：①任意 x＞0，lg x＋≥2；②任意 x∈R，ax＋≥2(a>0 且 a≠1)；③任意x∈，tan x＋≥2；④任意 x∈R，sin x＋≥2.其中真命题有( )A．③ B．③④ C．②③ D．①②③④[精彩点拨] 关键看是否满足平均值不等式．[自主解答] 在①，④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定 lg x＞0 与 sin x＞0，因此①，④是假命题．在②中，ax＞0，ax＋≥2 ＝2，当且仅当 x＝0 时取等号，故②是真命题．在③中，当 x∈时，tan x＞0，有 tan x＋≥2，且 x＝时取等号，故③是真命题．[答案] C本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件．在定理 1 和定理 2 中，“a＝b”1是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)≥是 a2＋b2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求 a，b 均为正数，后者只要求 a，b∈R；(2)a，b 大于 0 是≥的充分不必要条件；a，b 为实数是 a2＋b2≥2ab 的充要条件．1．设 a，b 为实数，且 ab＞0，下列不等式中一定成立的个数是( )①＋≥2；② a＋b≥2；③＋≥；④...